Cho tam giác ABC cân tại A. Nội tiếp đường trong (O). Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với OC. Đường thẳng này cắt AC tại D và cắt (O) tại E ( E khác B). Cho biết AB = 8cm và BC =4cm, tính đọ dài các đoạn thẳng DE, OA, OD.
giúp vsssss
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt BĐT cần c/m là A
Dự đoán đẳng thức xảy ra khi a = b = c
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số không âm:
\(\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{a+b}{8}+\frac{a+c}{8}\)
\(\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}.\frac{a+b}{8}.\frac{a+c}{8}}=\frac{3a}{4}\)
\(\frac{b^3}{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}+\frac{b+c}{8}+\frac{b+a}{8}\)
\(\ge3\sqrt[3]{\frac{b^3}{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}.\frac{b+c}{8}.\frac{b+a}{8}}=\frac{3b}{4}\)
\(\frac{c^3}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}+\frac{c+a}{8}+\frac{c+b}{8}\)
\(\ge3\sqrt[3]{\frac{c^3}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}.\frac{c+a}{8}.\frac{c+b}{8}}=\frac{3c}{4}\)
Cộng từng vế của các BĐT trên, ta được:
\(A+\frac{2\left(a+b+c\right)}{4}\ge\frac{3\left(a+b+c\right)}{4}\)
\(\Rightarrow A\ge\frac{3}{4}\)
(Dấu "="\(\Leftrightarrow a=b=c\))
Gọi độ dài quãng đường \(AB\) là: \(a\left(km\right)\left(a>0\right)\)
Gọi thời gian dự định ban đầu là:\(b\left(h\right)\left(b>0\right)\)
Ta có: \(10b=a\)
\(\Rightarrow10b-a=0\)
Người đó đi được nửa đường thì hết số thời gian:
\(\frac{0,5a}{10}=0,05a\)
Còn lại số thời gian:
\(b-0,05a-0,5\)
\(\Rightarrow15\left(b-0,05a-0,5\right)=0,5a\)
\(\Rightarrow15b-1,25a=7,5\)
Từ đó ta có hệ phương trình sau:
\(10b-a=0\)
\(\Leftrightarrow15b-1,25a=7,5\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=30\\b=3\end{cases}}\)
Vậy \(s_{AB}=30km\)
Không mất tính tổng quát, giả sử \(a\ge b\).
Đặt \(a+b=2x;a-b=2y\) thì \(x,y\ge0\) và \(a=x+y;b=x-y\) (1)
Theo đề bài: \(2x+2=4y^2\Rightarrow x=2y^2-1\ge0\)(*). Thay vào (1) thu được: \(a=2y^2+y-1;b=2y^2-y-1\)
Vì \(b\ge0\Rightarrow2y^2-y-1\ge0\) (do trên) (**)
\(\Leftrightarrow\left(y-1\right)\left(2y+1\right)\ge0\Leftrightarrow y\ge1\)
Vậy ta cần chứng minh:\(\left[1+\frac{\left(2y^2+y-1\right)^3}{\left(2y^2-y\right)^3}\right]\left[1+\frac{\left(2y^2-y-1\right)^3}{\left(2y^2+y\right)^3}\right]\le9\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(1-y\right)\left(y+1\right)\left(5y^4+2y^2-1\right)}{y^6}\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(1-y\right)\left(5y^4+2y^2-1\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(1-y\right)\left[\frac{1}{4}\left(2y^2-1\right)\left(10y^2+9\right)+\frac{5}{4}\right]\le0\)
Cái ngoặc vuông > 0 (do (*) ). Nên ta chỉ cần chứng minh: \(1-y\le0\Leftrightarrow y\ge1\)(hiển nhiên đúng theo (**) )
Đẳng thức xảy ra khi \(\left(a;b\right)=\left\{\left(2;0\right),\left(0;2\right)\right\}\)
Tính OA:
\(BH=CH=\frac{BC}{2}=2\)
\(AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{8^2-2^2}=2\sqrt{15}\)
\(\sin\widehat{ABH}=\frac{AH}{AB}\)
\(OA=R=\frac{AB}{2}\sin\widehat{ABH}=\frac{AB^2}{2AH}=\frac{64}{4\sqrt{15}}=16\sqrt{15}\)
Tính DE:
Vì: \(OC\perp BE\Rightarrow BC=CE=4\Rightarrow\widehat{CBD}=\widehat{BAC}\)
\(\Rightarrow\Delta BCD=\Delta ABC\) (g.g vì có chung \(\widehat{C}\))
\(\Rightarrow BD=BC=4\)
\(\frac{CD}{BC}=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{2}\Rightarrow CD=\frac{BC}{2}=2\Rightarrow AD=AC-CD=6\)
Mặt khác: \(BD.DE=AD.CD\Rightarrow DE=AD.\frac{CD}{BD}=6.\frac{2}{4}=3\)
Tính OD:
Ta có \(\cos\widehat{OAD}=\frac{AH}{AC}=\frac{2\sqrt{15}}{8}=\frac{\sqrt{15}}{4}\)
Áp đụng định lí hàm số cosin vào \(\Delta OAD\)
\(OD^2=OA^2+AD^2-2OA.AD.\cos\widehat{OAD}\)
\(=\frac{16^2}{15}+6^2-2.\frac{16}{\sqrt{15}}.6.\frac{\sqrt{15}}{4}\)
\(=\frac{256}{15}+36-48=\frac{76}{15}\)
\(\Rightarrow OD=2\sqrt{\frac{19}{15}}\)
(Hình ảnh chỉ mang tính chất minh họa và hình hơi xấu thông cảm :D mới thử làm dạng này nên sai chỗ nào thì bỏ qua nha)
* Hình vẽ nhìn nó không cân lắm nên bạn chỉnh lại ạ
- Gọi AH là đường cao của tam giác ABC , => H là trung điểm của BC
- Áp dụng định lí Py - ta - go cho tam giác AHB vuông tại H , ta có :
\(AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{8^2-2^2}=2\sqrt{15}\left(cm\right)\)
\(\Rightarrow S_{ABC}=\frac{AB.AC.BC}{4R}=\frac{AB.AC.BC}{4.OA}\)
\(\Rightarrow OA=\frac{AB.AC.BC}{4.S_{ABC}}=\frac{16\sqrt{15}}{15}\left(cm\right)\)
- Gọi S là giao điểm của BE và OC , T là trung điểm của AC \(\Rightarrow OT\perp AC\)
- Các tứ giác BOSH , OTDS nội tiếp nên :
\(CH.CB=CD.CT\left(=CS.CO\right)=8\Rightarrow CD=\frac{8}{CT}=2\left(cm\right)\)
=> D là trung điểm của CT và AD = 6cm
Vậy : \(BC^2=CD.CA\left(=16cm\right)\)nên \(\Delta ABC~\Delta BCD\left(c-g-c\right)\)nên tam giác BCD cũng cân tại B => BC = BD = 4cm
Ta lại có : \(\Delta DBC~\Delta DAE\left(g-g\right)\Rightarrow BD.DE=CD.AD\Rightarrow DE=\frac{12}{AD}=3\left(cm\right)\)
- Áp dụng định lí Py - ta - go cho tam giác OSE vuông tại S , ta có :
\(OS=\sqrt{OE^2-SE^2}=\frac{17\sqrt{15}}{30}\left(cm\right)\)
- Áp dụng định lí Py - ta - go cho tam giác vuông OSD vuông tại S , ta có :
\(OD=\sqrt{SD^2+OS^2}=\frac{2\sqrt{285}}{15}\left(cm\right)\)
Vậy : DE = 3cm ; \(OA=\frac{16\sqrt{15}}{30}\left(cm\right);OD=\frac{2\sqrt{285}}{15}\left(cm\right)\)