x⁴ - 2y² = 1 => x⁴ - 1 = 2y² ( 1 )

Dễ thấy : x lẻ \(x^4\equiv1\) ( mod 4 )

=> y² chẵn => y chẵn

Đặt \(x=2k+1;y=2n\left(k;n\in Z\right)\). Ta có :

\(\left(4k^2+4k+1\right)^2-1=8n^2\)

\(\Leftrightarrow\left(4k^2+4k+2\right)\left(4k^2+4k\right)=8n^2\)

\(\Leftrightarrow\left(2k^2+2k+1\right)\left(k^2+k\right)=n^2\)

Với k = 0 thì \(y=0\) ( tm )

Thay y = 0 vào ( 1 ) ta được \(x=\pm1\) ( tm )

Với \(k\ge1\)

Đặt \(k^2+k=m\)

\(\Rightarrow\left(2m+1\right)m=n^2\)

=> m ; 2m + 1 là SCP

Ta lại có : \(k^2< k^2+k< \left(k+1\right)^2\) 

Vì k² + k kẹp giữa 2 SCP liên tiếp nên k² + k không thể là SCP

Vậy pt có các nghiệm ( x ; y ) là : ( 1 ; 0 ) ; ( - 1 ; 0 ) 

Tohru ( ʚ๖ۣۜTεαм ๖ۣۜFℓαʂɦɞ )  làm vậy có dài không bạn?

\(x^4-2y^2=1\Leftrightarrow x^4=1+2y^2\)

Do \(\hept{\begin{cases}x^4\ge0\forall x\\2y^2\ge0\forall y\end{cases}}\)

Để x,y nguyên => \(\hept{\begin{cases}x^4=1\\2y^2=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\pm1\\y=0\end{cases}}}\)

a) đk: \(x\ge1\)

 \(x-2\sqrt{x-1}=16\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)-2\sqrt{x-1}+1=16\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2=16\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\sqrt{x-1}-1=4\\\sqrt{x-1}-1=-4\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\sqrt{x-1}=5\\\sqrt{x-1}=-3\left(vl\right)\end{cases}\Rightarrow}x-1=25\Rightarrow x=26\)

b) đk: \(x\ge\frac{9}{2}\)

 \(x-\sqrt{2x-9}=6\)

\(\Leftrightarrow x-6=\sqrt{2x-9}\)

\(\Leftrightarrow\left(x-6\right)^2=\left|2x-9\right|\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}2x-9=\left(x-6\right)^2\\2x-9=-\left(x-6\right)^2\end{cases}}\)

+ Nếu: \(2x-9=\left(x-6\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2-14x+45=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-5\right)\left(x-9\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=5\\x=9\end{cases}}\), thử lại thấy chỉ có x = 9 thỏa mãn

+ Nếu: \(2x-9=-\left(x-6\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2-10x+27=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-5\right)^2=-2\) (vô lý)

Vậy x = 9

Bài làm:

Ta có: \(\frac{x+1}{15}+\frac{x+2}{7}+\frac{x+4}{4}+6=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{28\left(x+1\right)+60\left(x+2\right)+105\left(x+4\right)}{15.7.4}=-6\)

\(\Leftrightarrow28x+28+60x+120+105x+420=-2520\)

\(\Leftrightarrow193x=-3088\)

\(\Rightarrow x=-16\)

\(\frac{x+1}{15}+\frac{x+2}{7}+\frac{x+4}{4}+6=0\)

<=> \(\frac{28\left(x+1\right)}{420}+\frac{60\left(x+2\right)}{420}+\frac{105\left(x+4\right)}{420}+\frac{2520}{420}=0\)

=> \(28x+28+60x+120+105x+420+2520=0\)

<=> \(28x+60x+105x=-28-120-420-2520\)

<=> 193x = -3088

a) Ta có \(\hept{\begin{cases}2\left(x-1\right)^2\ge0\forall x\\\left(y+3\right)^2\ge0\forall y\end{cases}}\Rightarrow A=2\left(x-1\right)^2+\left(y+3\right)^2\ge0\forall x;y\)

Dâu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x-1=0\\y+3=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=-3\end{cases}}}\)

Vậy GTNN của A là 0 khi x = 1 ; y = -3

b) Ta có \(\hept{\begin{cases}-\left(x+1\right)^2\le0\forall x\\-y^2\le0\forall y\end{cases}}\Rightarrow B=-\left(x+1\right)^2-y^2+2\le2\forall x;y\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x+1=0\\y=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=-1\\y=0\end{cases}}\)

Vậy GTLN của B là 2 khi x = -1 ; y = 0

Thật ra phần a GTNN của A là 1 cơ, anh/ chị thiếu +1 rồi.

Bài làm:

Ta có: \(4x^2+2y^2+4xy-4x-8y+15\)

\(=\left(4x^2+4xy+y^2\right)-2\left(2x+y\right)+1+y^2-6y+9+5\)

\(=\left(2x+y\right)^2-2\left(2x+y\right)+1+\left(y-3\right)^2+5\)

\(=\left(2x+y-1\right)^2+\left(y-3\right)^2+5\ge5\left(\forall x,y\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}\left(2x+y-1\right)^2=0\\\left(y-3\right)^2=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=-1\\y=3\end{cases}}\)

Vậy \(Min=5\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-1\\y=3\end{cases}}\)

4x² + 2y² + 4xy - 4x - 8y + 15

= [ ( 4x² + 4xy + y² ) - 2( 2x + y ) + 1 ] + ( y² - 6y + 9 ) + 5 

= ( 2x + y - 1 )² + ( y - 3 )² + 5

\(\hept{\begin{cases}\left(2x+y-1\right)^2\ge0\forall x,y\\\left(y-3\right)^2\ge0\forall y\end{cases}\Rightarrow}\left(2x+y-1\right)^2+\left(y-3\right)^2+5\ge5\forall x,y\)

Đẳng thức xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}2x+y-1=0\\y-3=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-1\\y=3\end{cases}}\)

Vậy GTNN của biểu thức = 5 <=> x = -1 ; y = 3

1. a. \(A=8a-8a^2+3=-8\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+5\)

Vì \(\left(a-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall a\)\(\Rightarrow-8\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+5\le5\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow-8\left(a-\frac{1}{2}\right)^2=0\Leftrightarrow a-\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow a=\frac{1}{2}\)

Vậy Amax = 5 <=> a = 1/2

b. \(B=b-\frac{9b^2}{25}=-\frac{9}{25}\left(b-\frac{25}{18}\right)^2+\frac{25}{36}\)

Vì \(\left(b-\frac{25}{18}\right)^2\ge0\forall b\)\(\Rightarrow-\frac{9}{25}\left(b-\frac{25}{18}\right)^2+\frac{25}{36}\le\frac{25}{36}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow-\frac{9}{25}\left(b-\frac{25}{18}\right)^2=0\Leftrightarrow b-\frac{25}{18}=0\Leftrightarrow b=\frac{25}{18}\)

Vậy Bmax = 25/36 <=> b = 25/18

a,\(A=8a-8a^2+3\)

       \(=-8\left(a^2-a\right)+3\)

       \(=-8\left(a^2-2a\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\right)+3\)

       \(=-8\left[\left(a-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}\right]+3\)

       \(=-8\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+2+3\)

       \(=-8\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+5\le5\forall a\) 

Dấu"=" xảy ra khi \(\left(a-\frac{1}{2}\right)^2=0\Rightarrow a=\frac{1}{2}\)

Vậy \(Max_A=5\)khi\(a=\frac{1}{2}\)

bài 2:

b,\(D=d^2+10e^2-6de-10e+26\)

\(=d^2-23de+\left(3e\right)^2+e^2-2.5e+5^2+1\)

\(=\left(d-3e\right)^2+\left(e-5\right)^2+1\ge1\forall d,e\)

Dấu"=" xảy ra khi\(\orbr{\begin{cases}\left(d-3e\right)^2=0\\\left(e-5\right)^2=0\end{cases}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}d=15\\e=5\end{cases}}}\)

vậy \(D_{min}=1\)khi \(d=15;e=5\)

c,:\(E=4x^4+12x^2+11\)

\(=\left(2x^2\right)^2+2.2x^2.3+3^2+2\)

\(=\left(2x^2+3\right)^2+2\ge2\forall x\)

còn 1 đoạn nx bạn tự lm tiếp,lm giống như D

Ta có GM=BM, GN=CN (gt)

⇒MN//BC (T/C đtb ΔGBC)

Tương tự, ED//BC (ED là đtb ΔABC)

⇒MN//ED

Lại có IK//MN (IK là đtb ΔGMN)

Nên IK//ED

Nên IEDK là hình thang (1)

Có ΔAED cân tại A (AE=AD)

⇒∠AED=∠ADE

Lại có ∠BEC=∠CDB (ΔBEC=ΔCDB:c-g-c)

⇒180o-(∠AED+∠BEC)=180o-(∠ADE+∠CDB)

Hay ∠IED=∠KDE (2)

Từ (1) và (2), suy ra IEDK là hình thang cân

b) DE = 1/2 BC ( đg thẳng nối trung điểm 2 cạnh tam giác = 1/2 cạnh còn lại) 
MN = 1/2 BC ( như trên) 
IK = 1/2 MN = 1/4BC (nt) 
DE +IK = 1/2BC +1/4 BC = 5 +2.5 =7.5 cm

study well k

a) Ta có :  x - 2y = 0

=> x = 2y

Khi đó A = 2.(2y)² - 2y² - 3.2yy - 2.2y.y² + (2y)².y + 5

= 8y² - 2y² - 6y² - 4y³ + 4y³ + 5

= 5

Vậy giá trị của A khi x - 2y = 0 là 5

b)Thay 11 = x - y vào biểu thức B ta có

\(B=\frac{3x-\left(x-y\right)}{2x+y}-\frac{3y+x-y}{2y+x}=\frac{2x+y}{2x+y}-\frac{2y+x}{2y+x}=1-1=0\)

Vậy giá trị của B khi x - y = 11 là 0