Cho a,b,c >0 CMR - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học

P/s: Em nhớ bài này có lời giải bằng Dirichlet thì phải.

Là sao ạ

hình tự vẽ nha

kẻ tiếp tuyến Ax ( Ax khác phía với C' )

\(\Rightarrow Ax\perp OA\); \(\widehat{xAC}=\widehat{ABC}\)

Xét tứ giác BCB'C' có \(\widehat{BC'C}=\widehat{BB'C}=90^o\)nên tứ giác BC'B'C nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{C'BC}+\widehat{CB'C'}=180^o\)

Mà \(\widehat{AB'C'}+\widehat{C'B'C}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{AB'C'}=\widehat{ABC}\)

Ta có : \(\widehat{AB'C'}+\widehat{B'AO}=\widehat{ABC}+\widehat{B'AO}=\widehat{xAC}+\widehat{B'AO}=\widehat{xAO}=90^o\)

\(\Rightarrow OA\perp B'C'\)

\(ĐK:x\ge0\)

\(PT\Leftrightarrow x^2+x+1+2x\sqrt{x}+2\sqrt{x}+2x=2x^2-30x+2\)

\(\Leftrightarrow x^2-33x+1-2x\sqrt{x}-2\sqrt{x}=0\left(1\right)\)

Đặt \(\sqrt{x}=a\left(a\ge0\right)\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow a^4-33a^2+1-2a^3-2a=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{7\pm3\sqrt{5}}{2}\\x=\frac{-5\pm\sqrt{21}}{2}\end{cases}}\)

 x(x-1)(x+4)(x+5)=84

<=> (x²+4x)(x²+4x-5)=84

Đặt x²+4x=a

=> a(a-5)=84

<=> a²-5a-84=0

<=>(a+7)(a-12)=0

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=-7\\a=12\end{cases}\Leftrightarrow}\orbr{\begin{cases}x^2+4x+7=0\left(vo.nghiem\right)\\x^2+4x-12=0\end{cases}}\)

Đến đây đơn giản rồi nhé :))

\(x\left(x-1\right)\left(x+4\right)\left(x+5\right)=84\)

\(\Leftrightarrow x\left(x+4\right)\left(x-1\right)\left(x+5\right)=84\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+4x\right)\left(x^2+4x-5\right)=84\)

Đặt \(x^2+4x=u\)

Phương trình trở thành \(u\left(u-5\right)=84\)

\(\Leftrightarrow u^2-5u+\frac{25}{4}=\frac{361}{4}\)

\(\Leftrightarrow\left(u-\frac{5}{2}\right)^2=\frac{361}{4}\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}u-\frac{5}{2}=\sqrt{\frac{361}{4}}\\u-\frac{5}{2}=-\sqrt{\frac{361}{4}}\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}u=12\\u=-7\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x^2+4x=12\\x^2+4x=-7\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\left(x+2\right)^2=16\\\left(x+2\right)^2=-3\left(L\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow x\in\left\{2;-6\right\}\)

Vậy pt có 2 nghiệm là 2 và -6

Gọi số nguyên đó là a. Ta cần chứng minh

a3+11a⋮6a3+11a⋮6

Xét: a3+11a=a(a2+11)=a(a2−1+12)=a(a2−1)+12a=a(a+1)(a−1)+12a⋮6a3+11a=a(a2+11)=a(a2−1+12)=a(a2−1)+12a=a(a+1)(a−1)+12a⋮6

Vậy ta có đpcm.

Lời giải:

Xét biểu thức A=n3−13nA=n3−13n. Ta cần cm A⋮6A⋮6

Thật vậy: A=n3−13n=n3−n−12n=n(n2−1)−12nA=n3−13n=n3−n−12n=n(n2−1)−12n

A=n(n−1)(n+1)−12nA=n(n−1)(n+1)−12n

Vì n,n−1n,n−1 là hai số tự nhiên liên tiếp nên tích n(n−1)⋮2n(n−1)⋮2

⇒n(n−1)(n+1)⋮3⇒n(n−1)(n+1)⋮3

Vì n−1,n,n+1n−1,n,n+1 là ba số tự nhiên liên tiếp nên tích n(n−1)(n+1)⋮3n(n−1)(n+1)⋮3

Kết hợp với (2,3) nguyên tố cùng nhau, do đó: n(n−1)(n+1)⋮6n(n−1)(n+1)⋮6

Mà 12n⋮612n⋮6

⇒A=n(n−1)(n+1)−12n⋮6⇔n3−13n⋮6⇒A=n(n−1)(n+1)−12n⋮6⇔n3−13n⋮6

Ta có đpcm.