Chứng minh rằng :
Với mọi n ∈ N và n > 1 thì : \(3^{2^n}\) + 4 ⋮ 5
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có \(\frac{2a+b+c+d}{a}=\frac{a+2b+c+d}{b}=\frac{a+b+2c+d}{c}=\frac{a+b+c+2d}{d}\)
=> \(\frac{a+b+c+d}{a}+1=\frac{a+b+c+d}{b}+1=\frac{a+b+c+d}{c}+1=\frac{a+b+c+d}{d}+1\)
=> \(\frac{a+b+c+d}{a}=\frac{a+b+c+d}{b}=\frac{a+b+c+d}{c}=\frac{a+b+c+d}{d}\)
Nếu a + b + c + d = 0
=> a + b = -(c + d) ;
b + c = -(d + a)
Khi đó
M = \(\frac{a+b}{c+d}+\frac{b+c}{d+a}+\frac{c+d}{a+b}+\frac{d+a}{b+c}=\frac{-\left(c+d\right)}{c+d}+\frac{-\left(d+a\right)}{d+a}+\frac{c+d}{-\left(c+d\right)}+\frac{d+a}{-\left(d+a\right)}\)
= (-1) + (-1) + (-1) + (-1) = -4
Nếu a + b + c + d \(\ne\)0
=> \(\frac{1}{a}=\frac{1}{b}=\frac{1}{c}=\frac{1}{d}\Rightarrow a=b=c=d\)
Khi đó M = \(\frac{a+b}{c+d}+\frac{b+c}{d+a}+\frac{c+d}{a+b}+\frac{d+a}{b+c}=\frac{2a}{2a}+\frac{2b}{2b}+\frac{2c}{2c}+\frac{2d}{2d}=1+1+1+1=4\)
Vậy khi a + b + c + d = 0 thì M =-4
khi a + b + c+ d \(\ne\)0 thì M = 4
ta có: 2a+b+c+d/a=a+2b+c+d/b=a+b+2c+d/c=a+b+c+2d/d=2a+b+c+d+a+2b+c+d+a+b+2c+d+a+b+c+2d/a+b+c+d=3
suy ra 2a+b+c+d=3a suy ra a=b+c+d
tương tự: b=a+c+d,c=a+b+d,d=a+b+c
cộng lại ta có: a+b+c+d=b+c+d+a+c+d+a+b+d+a+b+c
suy ra 0=2(a+b+c+d) suy ra a+b+c+d=0 suy ra a+b=-(c+d),b+c=-(d+a),(c+d)=-(a+b),(d+a)=-(b+c) (1)
vì thế thay (1) vào M ta tính đc M=-4
ta có :
\(3^{2^n}=\left(3^4\right)^{\frac{2^n}{4}}=\left(81\right)^{2^{n-2}}\) có chữ số tận cùng là 1 nên
\(3^{2^n}+4\) có chữ số tận cùng là 5, nên chia hết cho 5