( x² + 4x + 3 )( x² + 12x + 35 ) + 2021

= ( x² + x + 3x + 3 )( x² + 5x + 7x + 35 ) + 2021

= [ x( x + 1 ) + 3( x + 1 ) ][ x( x + 5 ) + 7( x + 5 ) ] + 2021

= ( x + 1 )( x + 3 )( x + 5 )( x + 7 ) + 2021

= [ ( x + 1 )( x + 7 ) ][ ( x + 3 )( x + 5 ) ] + 2021

= ( x² + 8x + 7 )( x² + 8x + 15 ) + 2021 (1)

Đặt t = x² + 8x + 11

(1) <=> ( t - 4 )( t + 4 ) + 2021

       = t² - 16 + 2021

       = t² + 2005

       = ( x² + 8x + 11 )² + 2005

Ta có : ( x² + 8x + 11 )² chia hết cho ( x² + 8x + 11 )

2005 có bậc 0 , x² + 8x + 11 có bậc 2 nên không thể chia

=> ( x² + 8x + 11 )² + 2005 chia cho ( x² + 8x + 11 ) dư 2005

hay [ ( x² + 4x + 3 )( x² + 12x + 35 ) + 2021 ] chia ( x² + 8x + 11 ) dư 2005

Ta có : 2x² + 9y² - 6xy - 6x - 12y + 20

= ( x² - 6xy + 9y² + 4x - 12y + 4 ) + ( x² - 10x + 25 ) - 9

= [ ( x² - 6xy + 9y² ) + ( 4x - 12y ) + 4 ] + ( x - 5 )² - 9

= [ ( x - 3y )² + 2( x - 3y ).2 + 2² ] + ( x - 5 )² - 9

= ( x - 3y + 2 )² + ( x - 5 )² - 9 ≥ -9 ∀ x, y

Dấu "=" xảy ra khi x = 5 ; y = 7/3

=> GTNN của biểu thức = -9 <=> x = 5 ; y = 7/3

\(A=\frac{3}{2x^2+2x+3}\)

Để A đạt GTLN thì 2x² + 2x + 3 phải đạt GTNN

Ta có : 2x² + 2x + 3 = 2( x² + x + 1/4 ) + 5/2 = 2( x + 1/2 )² + 5/2 ≥ 5/2 ∀ x

Dấu "=" xảy ra khi x = -1/2

=> Min( 2x² + 2x + 3 ) = 5/2 

=> MaxA = \(\frac{3}{\frac{5}{2}}=\frac{6}{5}\)khi x = -1/2

Lười vẽ hình quá nên làm tạm câu 5 thôi nhé:)

Ta có: 

\(A=-2x^2-10y^2+4xy+4x+4y+2013\)

\(A=\left(-2x^2-2y^2-2+4xy+4x-4y\right)-\left(8y^2-8y+2\right)+4+2013\)

\(A=-2\left(x^2+y^2+1-2xy-2x+2y\right)-2\left(4y^2-4y+1\right)+2017\)

\(A=-2\left(y-x+1\right)^2-2\left(2y-1\right)^2+2017\le2017\left(\forall x,y\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}-2\left(y-x+1\right)^2=0\\-2\left(2y-1\right)^2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y-x+1=0\\y=\frac{1}{2}\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y+1=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}\\y=\frac{1}{2}\end{cases}}\)

Vậy \(Max_A=2017\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{3}{2}\\y=\frac{1}{2}\end{cases}}\)

Cho hỏi gửi hình lên kiểu gì vậy??

Nguyễn Minh Đăng⁰⁶ : ib riêng nhá 

Ta có (x + 2)³ - x²(x - 6) = 4

=> x³ + 6x² + 12x + 8 - x³ + 6x² = 4

=> 12x² + 12x + 8 = 4

=> 12x² + 12x - 4 = 0

=> 12(x² + x - 1/3) = 0

=> x² + x - 1/3 = 0

=> x² + x + 1/4 - 7/12 = 0

=> (x + 1/2)² = 7/12

=> \(\orbr{\begin{cases}x+\frac{1}{2}=\sqrt{\frac{7}{12}}\\x+\frac{1}{2}=-\sqrt{\frac{7}{12}}\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=\sqrt{\frac{7}{12}}-\frac{1}{2}\\x=-\sqrt{\frac{7}{12}}-\frac{1}{2}\end{cases}}\)

xin đề bài ạ

( x + 2 )³ - x²( x - 6 ) = 4

⇔ x³ + 6x² + 12x + 8 - x³ + 6x² = 4

⇔ 12x² + 12x + 8 - 4 = 0

⇔ 12x² + 12x + 4 = 0

⇔ 4( 3x² + 3x + 1 ) = 0

⇔ 3x² + 3x + 1 = 0

Ta có : 3x² + 3x + 1 = 3( x² + x + 1/4 ) + 1/4 = 3( x + 1/2 )² + 1/4 ≥ 1/4 > 0 ∀ x

=> Phương trình vô nghiệm