Tổng số h/s dự thi của cả 2 trường là 420:84%=500 (h/s)

Gọi số h/s dự thi của trường A và B lần lượt là a,b (h/s) (a,b nguyên dương và 0<a,b<500)

=> a+b=500

Tỉ lệ đỗ của trường A là 80% nên số h/s thi đỗ của trường A là 80%.a=8/10.a

Tương tự số h/s thi đỗ của trường B là 9/10.b

Mà 2 trường có 420 h/s đỗ => 8/10.a+9/10.b=420

Giải hệ \(\hept{\begin{cases}a+b=500\\\frac{8}{10}a+\frac{9}{10}b=420\end{cases}}\)được a=300,b=200

a. 
+ Trong $\Delta ABC$, đường cao $AH$ và $CE$ cắt nhau tại $H$

$\Rightarrow H$ là trực tâm của $\Delta ABC$.

$\Rightarrow BH \perp AC$.

+ Ta có $\widehat{HDB} = 90^{\circ}$ ($AD \perp BC$) và

$\widehat{HEB} = 90^{\circ}$ ($CE \perp AB$)

$\Rightarrow \widehat{HDB} + \widehat{HEB} = 180^{\circ}$.

Mà trong tứ giác $HEBD$, $\widehat{HDB}$ và $\widehat{HEB}$ là hai góc đối nhau.

Suy ra $HEBD$ là tứ giác nội tiếp.

b. 

Xét $\Delta MBA$ và $\Delta MAC$ có:

$\widehat{AMC}$ chung

$\widehat{MAB} = \widehat{MCA}$ (cùng chắn cung $AB$)

$\Rightarrow \Delta MBA \sim \Delta MAC$ (g.g)

$\Rightarrow \dfrac{MB}{MA} = \dfrac{MA}{MC}$ 

$\Rightarrow MA^2 = MB.MC$.

c. 

Kẻ đường kính $AG$ và $AD$ cắt đường tròn tại điểm thứ hai là $E$.

Ta có $\widehat{BCE} = \widehat{BAE}$ (cùng chắn cung BE$)

Mà $\widehat{BAE} = \widehat{DCE}$ (cùng phụ với $\widehat{ABC}$)

$\Rightarrow \widehat{BCE} = \widehat{DCE}$

Xét $\Delta CHD$ và $\Delta CED$ có:

$\widehat{BCE} = \widehat{DCE}$

$CD$ chung

$\widehat{CDH} = \widehat{CDE} = 90^{\circ}$

$\Rightarrow \Delta CHD = \Delta CED$ (g.c.g)

$\Rightarrow \widehat{HCD} = \widehat{ECD}$ hay $CD$ vừa là đường cao, vừa là phân giác của $\Delta CHE$.

$\Rightarrow \Delta CHE$ cân tại $C \Rightarrow CD$ là trung trực của đoạn thẳng $HE$.

Suy ra $NH = NE$ (do $N$ thuộc $CD$) (1)

Chứng minh $CBEG$ là hình thang cân 

Vì $\widehat{AEG} = 90^{\circ}$ nên $AE \perp GE$

Mà $AE \perp BC$ nên $CB // EG$

Suy ra $CBEG$ là hình thang mà hình thang nội tiếp đường tròn $(O)$ nên $CBEG$ là hình thang cân.

$N$ là trung điểm $BC$ nên $\Delta NCG = \Delta NBE$ (c.g.c)

Suy ra $NE = NG$ (2)

Ta có $\widehat{NFG } = 90^{\circ} \Rightarrow NG>NF$ (3) 

Từ (1), (2) và (3) suy ra $NH > NF$.

\(A=\frac{m^2+5m+3}{m^2+m+1}\)

\(\Leftrightarrow A\cdot m^2+A\cdot m+A=m^2+5m+3\)

\(m^2\left(A-1\right)+m\left(A-5\right)+\left(A-3\right)=0\)

Xét \(\Delta=\left(A-5\right)^2-4\left(A-3\right)\left(A-1\right)\)

\(=A^2-10A+25-4\left(A^2-4A+3\right)\)

\(=-3A^2+6A+12\)

Điều kiện có nghiệm là \(\Delta\ge0\) bám vào đk mà đánh giá tiếp

Xét A = 1 nữa.

\(\Delta=m^2+8\ge8\forall m\)

=> \(\Delta>0\)=> PT có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

Theo Vi-et ta có: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=m\\x_1x_2=-2\end{cases}}\)

\(x_1^2+x_2^2-3x_1x_2=14\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-5x_1x_2=14\)

\(\Leftrightarrow m^2=14-10=4\)

\(\Leftrightarrow m=\pm2\)