KS
5
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
1 tháng 5 2019
Áp dụng bdtd quen thuộc :
\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
Ta có :
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=\frac{9}{3}=3\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
1 tháng 5 2019
Chứng minh bđt nha ( quên mất )
Áp dụng bđt Cauchy :
\(\hept{\begin{cases}a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\\\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\end{cases}}\)
Nhân từng vế của 2 bđt ta được đpcm
Dấu "=" khi \(a=b=c\)
4 tháng 6 2016
Ta có:
\(\frac{a}{b^2+1}=\frac{a\left(b^2+1\right)-ab^2}{b^2+1}=a-\frac{ab^2}{b^2+1}\)
Nhận xét: a,b,c không âm nên theo BĐT Cô - si, ta có:
\(b^2+1\ge2\sqrt{b^2.1}=2b\)
=> \(\frac{ab^2}{b^2+1}\le\frac{ab^2}{2b}=\frac{ab}{2}\)
=> \(a-\frac{ab^2}{b^2+1}\ge a-\frac{ab}{2}\)
=> \(\frac{a}{b^2+1}\ge a-\frac{ab}{2}\)
Tương tự, ta cũng có:
\(\frac{b}{c^2+1}\ge b-\frac{bc}{2}\)
\(\frac{c}{a^2+1}\ge c-\frac{ac}{2}\)
Vậy ta suy ra
\(M=\frac{a}{b^2+1}+\frac{b}{c^2+1}+\frac{c}{a^2+1}\ge a+b+c-\frac{ab}{2}-\frac{bc}{2}-\frac{ac}{2}\)
Mà a+b+c = 3 nên suy ra:
\(M\ge3-\left(\frac{ab}{2}+\frac{bc}{2}+\frac{ac}{2}\right)\)(1)
Ta có:
\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
<=> \(a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ac+a^2\ge0\)
<=> \(2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ac\right)\)
<=> \(a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc\)
<=> \(a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)\ge3ab+3ac+3bc\)
<=> \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+ac+bc\right)\)
<=> \(3^2\ge3\left(ab+ac+bc\right)\)
<=> \(ab+ac+bc\le3\)
<=> \(\frac{ab+ac+bc}{2}\le\frac{3}{2}\)
<=> \(3-\frac{ab+ac+bc}{2}=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\) (2)
Từ 1 và 2 => \(M\ge\frac{3}{2}\)
Dấu bằng xảy ra <=> a=b=c=1
5 tháng 2 2020
Câu 1:
\(y^2+yz+z^2=1-\frac{3x^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow2y^2+2yz+2z^2=2-3x^2\)
\(\Leftrightarrow\left(y+z\right)^2+y^2+z^2+3x^2=2\)
\(\Leftrightarrow\left(y+z\right)^2+x^2+2x\left(y+z\right)+y^2+z^2+2x^2-2x\left(y+z\right)=2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2+\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x^2-2xz+z^2\right)=2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2=2-\left(x-y\right)^2-\left(x-z\right)^2\)
\(\Leftrightarrow A^2=2-\left[\left(x-y\right)^2+\left(x-z\right)^2\right]\le2\forall x;y;z\)
\(\Leftrightarrow-\sqrt{2}\le A\le\sqrt{2}\)
Vậy \(A_{min}=-\sqrt{2}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y=z\\x+y+z=-\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{-\sqrt{2}}{3}\)
\(A_{max}=\sqrt{2}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{\sqrt{2}}{3}\)
Câu 2:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(P=\frac{1}{1+xy}+\frac{1}{1+yz}+\frac{1}{1+zx}\ge\frac{9}{3+xy+yz+zx}\ge\frac{9}{3+x^2+y^2+z^2}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Câu 3:
\(P=\frac{ab\sqrt{c-2}+bc\sqrt{a-3}+ca\sqrt{b-4}}{abc}\) ( \(a\ge3;b\ge4;c\ge2\) )
\(P=\frac{\sqrt{c-2}}{c}+\frac{\sqrt{a-3}}{a}+\frac{\sqrt{b-4}}{b}\)
Áp dụng BĐT Cauchy:
\(P=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{c-2}}{c}+\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}\cdot\sqrt{a-3}}{a}+\frac{1}{2}\cdot\frac{2\cdot\sqrt{b-4}}{b}\)
\(\le\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{2+c-2}{c}+\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{3+a-3}{a}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{4+b-4}{b}=\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{2}\right)\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=6\\b=8\\c=4\end{matrix}\right.\)
Câu 4:
Đặt \(\sqrt{x}=a;\sqrt{y}=b\left(a;b\ge0\right)\)
\(M=a^2-2ab+3b^2-2a+1\)
\(M=a^2-a\left(2b+2\right)+3b^2+1\)
\(\Delta=\left(2b+2\right)^2-4\left(3b^2+1\right)\)
\(=-8b^2+8b\)
\(=-8b\left(b+1\right)\ge0\)
Vì \(b\ge0\) nên \(-8b\left(b+1\right)\le0\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow b=0\)
Khi đó \(M=a^2-2a+1=\left(a-1\right)^2\ge0\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=1\)
Vậy \(M_{min}=1\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=0\end{matrix}\right.\)
CV
10 tháng 7 2018
1.(√x -2)^2 ≥ 0 --> x -4√x +4 ≥ 0 --> x+16 ≥ 12 +4√x --> (x+16)/(3+√x) ≥4
--> Pmin=4 khi x=4
4 tháng 5 2021
2. Đặt \(\sqrt{x^2-4x+5}=t\ge1\)1
=> M=2x2-8x+\(\sqrt{x^2-4x+5}\)+6=2(t2-5)+t+6
<=> M=2t2+t-4\(\ge\)2.12+1-4=-1
Mmin=-1 khi t=1 hay x=2
17 tháng 6 2019
Max nè : \(\frac{2m+1}{m^2+2}=\frac{m^2+2-m^2+2m-1}{m^2+2}=1+\frac{-\left(m-2\right)^2}{m^2+2}\le1\)
Min nhé: \(\frac{2m+1}{m^2+2}=\frac{4m+2}{2m^2+4}=\frac{-m^2-2+m^2+4m+4}{2\left(m^2+2\right)}\ge-\frac{1}{2}\)
Dấu bằng xảy ra : Max m=2, Min m =-2
NT
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
17 tháng 7 2020
Lời giải:
ĐK: $-\sqrt{3}\leq x\leq \sqrt{3}$
Ta thấy:
$x^2\geq 0, \forall x\in [-\sqrt{3}; \sqrt{3}]$
$\Rightarrow 3-x^2\leq 3\Rightarrow \sqrt{3-x^2}\leq \sqrt{3}$
$\Rightarrow 2-\sqrt{3-x^2}\geq 2-\sqrt{3}$
$\Rightarrow A=\frac{1}{2-\sqrt{3-x^2}}\leq \frac{1}{2-\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}$
Vậy $A_{\max}=2+\sqrt{3}$ khi $x^2=0\Leftrightarrow x=0$
-----------------
$\sqrt{3-x^2}\geq 0$ với mọi $x\in [-\sqrt{3};\sqrt{3}]$
$\Rightarrow 2-\sqrt{3-x^2}\leq 2$
$\Rightarrow A=\frac{1}{2-\sqrt{3-x^2}}\geq \frac{1}{2}$
Vậy $A_{\min}=\frac{1}{2}$ khi $3-x^2=0\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{3}$
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 4 2020
Câu 2:
\(A-4=2x+3y\Rightarrow\left(A-4\right)^2=\left(2x+3y\right)^2\)
\(\left(A-4\right)^2\le\left(2^2+3^2\right)\left(x^2+y^2\right)=676\)
\(\Rightarrow-26\le A-4\le26\)
\(\Rightarrow-22\le A\le30\)
\(A_{max}=30\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=6\end{matrix}\right.\)
\(A_{min}=-22\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=-4\\y=-6\end{matrix}\right.\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 4 2020
\(2x+3y=1\Rightarrow y=\frac{1-2x}{3}\)
Do \(x;y\ge0\Rightarrow0\le x\le\frac{1}{2}\)
\(A=x^2+3\left(\frac{1-2x}{3}\right)^2=x^2+\frac{1}{3}\left(4x^2-4x+1\right)=\frac{7}{3}x^2-\frac{4}{3}x+\frac{1}{3}\)
\(A=\frac{7}{3}\left(x-\frac{2}{7}\right)^2+\frac{1}{7}\ge\frac{1}{7}\)
\(\Rightarrow A_{min}=\frac{1}{7}\) khi \(x=\frac{2}{7};y=\frac{1}{7}\)
Mặt khác \(A=\frac{1}{3}x\left(7x-4\right)+\frac{1}{3}\)
Do \(x\le\frac{1}{2}\Rightarrow7x-4< 0\Rightarrow x\left(7x-4\right)\le0\)
\(\Rightarrow A\le\frac{1}{3}\Rightarrow A_{max}=\frac{1}{3}\) khi \(x=0;y=\frac{1}{3}\)
\(A=\frac{m^2+5m+3}{m^2+m+1}\)
\(\Leftrightarrow A\cdot m^2+A\cdot m+A=m^2+5m+3\)
\(m^2\left(A-1\right)+m\left(A-5\right)+\left(A-3\right)=0\)
Xét \(\Delta=\left(A-5\right)^2-4\left(A-3\right)\left(A-1\right)\)
\(=A^2-10A+25-4\left(A^2-4A+3\right)\)
\(=-3A^2+6A+12\)
Điều kiện có nghiệm là \(\Delta\ge0\) bám vào đk mà đánh giá tiếp
Xét A = 1 nữa.