Ta có: \(36=\left[\left(x+y\right)+z\right]^2\ge4z\left(x+y\right)\)(1)

\(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)(2)

Nhân theo vế (1) và (2), ta được: \(36\left(x+y\right)^2\ge16xyz\left(x+y\right)\Rightarrow\frac{x+y}{xyz}\ge\frac{4}{9}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x+y=z;x=y\\x,y>0;x+y+z=6\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=\frac{3}{2};z=3\)

\(M=\frac{x+2}{x+3}-\frac{5}{x^2+x-6}+\frac{1}{2-x}\)

a) ĐKXĐ : x ≠ -3 , x ≠ 2

\(=\frac{x+2}{x+3}-\frac{5}{x^2-2x+3x-6}-\frac{1}{x-2}\)

\(=\frac{x+2}{x+3}-\frac{5}{x\left(x-2\right)+3\left(x-2\right)}-\frac{1}{x-2}\)

\(=\frac{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}-\frac{5}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}-\frac{x+3}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}\)

\(=\frac{x^2-4-5-x-3}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}=\frac{x^2-x-12}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}\)

\(=\frac{x^2-4x+3x-12}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}=\frac{x\left(x-4\right)+3\left(x-4\right)}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}\)

\(=\frac{\left(x+3\right)\left(x-4\right)}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}=\frac{x-4}{x-2}\)

b) Để M = 1/3

=> \(\frac{x-4}{x-2}=\frac{1}{3}\)( x ≠ -3 , x ≠ 2 )

=> 3( x - 4 ) = x - 2

=> 3x - 12 - x + 2 = 0

=> 2x - 10 = 0

=> 2x = 10

=> x = 5 ( tm )

Vậy x = 5 thì M = 1/3

đk: \(x\ne2,x\ne-3\)

a) Ta có: \(M=\frac{-4+x^2}{x^2+x-6}-\frac{5}{x^2+x-6}-\frac{x+3}{x^2+x-6}\)

\(=\frac{x^2-x-12}{x^2+x-6}=\frac{\left(x-4\right)\left(x+3\right)}{\left(x-2\right)\left(x+3\right)}=\frac{x-4}{x-2}\)

b) \(M=\frac{1}{3}\Rightarrow\frac{x-4}{x-2}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow3x-12=x-2\Leftrightarrow x=5\)

Ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\Leftrightarrow xy+yz+xz=0\)

CM : \(x^3y^3+y^3z^3+x^3z^3=3x^2y^2z^2\)

CM: \(x+y+z=0\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3=3xyz\)

\(\Rightarrow\frac{x^6+y^6+z^6}{x^3+y^3+z^3}=\frac{\left(x^3+y^3+z^3\right)^2-2\left(x^3y^3+x^3z^3+y^3z^3\right)}{3xyz}=\frac{3x^2y^2z^2}{xyz}=xyz\)

( x - 2 )( x² + 2x + 4 ) - ( x³ + 1 )

= x³ - 8 - x³ - 1 = -9

Ta có a³ - 5b³

= (a³ + b³) - 6b³

= (a + b)(a² - ab + b²) - 6b³

Vì \(\hept{\begin{cases}\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)⋮6\left(\text{Vì }a+b⋮6\right)\\6b^3⋮6\end{cases}}\Rightarrow a^3-5b^3⋮6\)

Bài làm

a) Xét tam giác ABC có:

E là trung điểm AC

F là trung điểm BC

=> EF là đường trung bình

Vậy EF là đường trung bình của tam giác ABC (đpcm)

b) Vì EF là đường trung bình của tam giác ABC

=> EF // AB => EF // AD

=> EF = 1/2AB.

Mà AD = 1/2AB (Do D là trung điểm AB)

=> EF = AD

Xét tứ giác ADEF có:

EF // AD (chứng minh trên)

EF = AD (chứng minh trên)

=> Tứ giác ADEF là hình bình hành.

Nối AF

Xét tam giác  EAF có: 

N là trung điểm AE

P là trung điểm EF

=> NP là đường trung bình của tam giác EAF

=> NP = 1/2AF   (1)

=> NP // AF    (2)

Xét tam giác DAF có:

M là trung điểm AD

Q là trung điểm DF

=> MQ là đường trung bình của tam giác DAF

=> MQ = 1/2AF   (3)

=> MQ // AF   (4)

Từ (1) và (3) => NP = MQ

Từ (2) và (4) => MQ // NP

Xét tứ giác MNPQ có:

NP = MQ (chứng minh trên)

NP // MQ (chứng minh trên)

=> MNPQ là hình bình hành.

c) Nếu tam giác ABC vuông tại A

=> \(\widehat{BAC}=90^0\)

Mà tứ giác DAEF là hình bình hành (theo câu b)

=> DAEF là hình chữ nhật.

Vì DAEF là hình chữ nhật

=> AF vuông góc DE (tính chất hai đường chéo)

Gọi giao điểm của AF và DE là O

=> AF vuông góc với DE tại O

Gọi giao điểm của DE với NP là I

Xét tam giác AEO vuông tại O có:

N là trung điểm AE

NI // AO (Do NP // AF chứng minh ở trên)

=> NI là đường trung bình

=> NI // AO

Mà \(\widehat{AOE}\)và \(\widehat{NIO}\)trong cùng phía bù nhau

=> \(\widehat{NIO}=90^0\)

Xét tam giác AED có:

M là trung điểm AD

N là trung điểm AE

=> MN là đường trung bình

=> MN // DE

Mà \(\widehat{MNI}+\widehat{NIO}=180^0\)(trong cùng phía)

hay \(\widehat{MNP}=180^0-90^0\)

=> \(\widehat{MNP}=90^0\)

Mà tứ giác MNPQ là hình bình hành

=> MNPQ là hình chữ nhật. 

TH1: x < -1

pt <=> -2x + x + 1 =2

<=> - x = 1

<=> x = -1 ( loại)

TH2: -1<= x <0

pt <=> -2x -x - 1 =2

<=> x = -1 ( nhận)

TH3: x>=0

pt <=> 2x - x - 1 = 2

<=> x = 3 ( nhận)