\(M=\frac{x^2}{x^4+x^2+1}=\frac{x^2}{x^4+2x^2+1-x^2}=\frac{x^2}{\left(x^2+1\right)^2-x^2}=\frac{x^2}{\left(x^2-x+1\right)\left(x^2+x+1\right)}\)

\(\frac{x}{x^2-x+1}=a\Rightarrow\frac{1}{a}=\frac{x^2-x+1}{x}=\frac{x^2+x-2x+1}{x}=\frac{x^2+x+1}{x}-2\)

\(\Rightarrow\frac{x}{x^2+x+1}=\frac{a}{2a+1}\)

Suy ra \(M=a.\frac{a}{2a+1}=\frac{a^2}{2a+1}\).

\(x+y+z=0\)

\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)\left(ax+by+cz\right)=0\)

\(\Leftrightarrow ax^2+by^2+cz^2+axy+axz+bxy+byz+cxz+cyz=0\)

\(\Leftrightarrow ax^2+by^2+cz^2+xz\left(a+c\right)+xy\left(a+b\right)+yz\left(b+c\right)=0\)

\(\Leftrightarrow ax^2+by^2+cz^2-bxz-cxy-ayz=0\)

\(\Leftrightarrow ax^2+by^2+cz^2-xyz\left(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow ax^2+by^2+cz^2=0\)

Từ \(x+y+z=0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=-\left(y+z\right)\\y=-\left(z+x\right)\\z=-\left(x+y\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2=\left(y+z\right)^2\\y^2=\left(z+x\right)^2\\z^2=\left(x+y\right)^2\end{cases}}\)

\(\Rightarrow ax^2+by^2+cz^2\)

\(=a\left(y+z\right)^2+b\left(z+x\right)^2+c\left(x+y\right)^2\)

\(=ay^2+2ayz+az^2+bz^2+2bzx+bx^2+cx^2+2cxy+cy^2\)

\(=x^2\left(b+c\right)+y^2\left(a+c\right)+z^2\left(a+b\right)+2\left(ayz+bzx+cxy\right)\left(1\right)\)

Từ \(a+b+c=0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b=-c\\b+c=-a\\c+a=-b\end{cases}}\left(2\right)\)

Thay \(\left(2\right)\)vào \(\left(1\right)\), ta được :

\(ax^2+by^2+cz^2=-ax^2-by^2-cz^2+2\left(ayz+bzx+cxy\right)\)

Mà \(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0\)\(\Rightarrow ayz+bzx+cxy=0\)

\(\Rightarrow ax^2+by^2+cz^2=-ax^2-by^2-cz^2\)

\(\Rightarrow2\left(ax^2+by^2+cz^2\right)=0\)

\(\Rightarrow ax^2+by^2+cz^2=0\)

\(\Rightarrowđpcm\)

\(\frac{x}{2x-6}+\frac{x}{2x+2}-\frac{2x}{\left(x+1\right)\left(x+3\right)}=0\)(ĐK: \(x\ne-1,x\ne-3\)) 

\(\Leftrightarrow\frac{x\left(2x+2\right)\left(x+3\right)+x\left(2x-6\right)\left(x+3\right)-4x\left(2x-6\right)}{\left(2x-6\right)\left(2x+2\right)\left(x+3\right)}=0\)

\(\Rightarrow4x^3+12x=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x^2+3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x=0\)(thỏa).

Ta có \(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}=\frac{1}{a-b-c}\)

=> \(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{1}{a-b-c}+\frac{1}{c}\)

=> \(\frac{b-a}{ab}=\frac{a-b}{\left(a-b-c\right)c}\)

Khi b - a = 0

=> (b - a)(a - c)(b + c) = 0 (1)

Khi b - a \(\ne0\)

=> ab = -(a - b - c).c

=> ab = -ac + bc + c² 

=> ab + ac - bc - c² = 0

=> a(b + c) - c(b + c) = 0

=> (a - c)(b + c) = 0

=> (b - a)(a - c)(b + c) = 0 (2)

Từ (1)(2) => (b - a)(a - c)(b + c) = 0

=> b - a = 0 hoặc a - c = 0 hoặc b + c = 0

=> a = b hoặc a = c hoặc b = -c

Vậy tồn tại 2 số bằng nhau hoặc đối nhau

CÓ CÁI CÂU HỎI 3-4 LẦN :V 

\(\frac{1}{X-1}+\frac{2X^2-5}{X^3-1}=\frac{4}{X^2+X+1}\)

ĐKXĐ : X ≠ 1

<=> \(\frac{X^2+X+1}{\left(X-1\right)\left(X^2+X+1\right)}+\frac{2X^2-5}{\left(X-1\right)\left(X^2+X+1\right)}-\frac{4\left(X-1\right)}{\left(X-1\right)\left(X^2+X+1\right)}=0\)

<=> \(\frac{X^2+X+1+2X^2-5-4X+4}{\left(X-1\right)\left(X^2+X+1\right)}=0\)

<=> \(\frac{3X^2-3X}{\left(X-1\right)\left(X^2+X+1\right)}=0\)

<=> \(\frac{3X\left(X-1\right)}{\left(X-1\right)\left(X^2+X+1\right)}=0\)

<=> \(\frac{3X}{X^2+X+1}=0\)

=> X = 0 ( TM )

VẬY PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM X = 0

Ta có : \(A=3n^2-16n-12\)

\(=3n\left(n-6\right)+2\left(n-6\right)\)

\(=\left(n-6\right)\left(3n+2\right)\)

Vì n là số nguyên dương nên \(n-6< 3n+2\)

Vì A là số nguyên tố nên A chỉ có 2 ước nguyên dương là 1 và chính A 

\(\Rightarrow n-6=1\)

\(\Rightarrow n=7\)

Thử lại : Thay n vào A ta được :

\(A=\left(7-6\right)\left(3.7+2\right)=23\)(là số nguyên tố)

Vậy n=6 thì A là số nguyên tố .