Ta có: \(x^2+x=x^2y-xy+y\)

\(\Leftrightarrow x^2+x-x^2y+xy-y=0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(1-y\right)+x\left(1+y\right)-y=0\)

\(\Delta=\left(1+y\right)^2+4y\left(1-y\right)\)

\(=y^2+2y+1+4y-4y^2=-3y^2+6y+1\)

Để PT có nghiệm thì \(\Delta\ge0\Leftrightarrow-3y^2+6y+1\ge0\)

\(\Rightarrow\frac{3+2\sqrt{3}}{3}\ge y\ge\frac{3-2\sqrt{3}}{3}\Leftrightarrow2\ge x\ge0\)

Vì y nguyên nên ta xét các TH sau:

TH1: \(y=0\Rightarrow x^2+x=0\Leftrightarrow x\left(x+1\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=-1\end{cases}\left(tm\right)}\)

TH2: \(y=1\Rightarrow x^2+x=x^2-x+1\Leftrightarrow2x=1\Rightarrow x=\frac{1}{2}\left(ktm\right)\)

TH3: \(y=2\Rightarrow x^2+x=2x^2-2x+2\Leftrightarrow x^2-3x+2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-2\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x=2\end{cases}}\)

Vậy ta có 4 cặp số (x;y) thỏa mãn ...

a) ( 2x - 1 )( 4x + 1 ) = 0

<=> 2x - 1 = 0 hoặc 4x + 1 = 0

<=> x = 1/2 hoặc x = -1/4

Vậy S = { 1/2 ; -1/4 }

b) x( x + 4 ) = 0

<=> x = 0 hoặc x + 4 = 0

<=> x = 0 hoặc x = -4

Vậy S = { 0 ; -4 }

c) x( x + 4 ) = 5

<=> x² + 4x - 5 = 0

<=> x² - x + 5x - 5 = 0

<=> x( x - 1 ) + 5( x - 1 ) = 0

<=> ( x - 1 )( x + 5 ) = 0

<=> x - 1 = 0 hoặc x + 5 = 0

<=> x = 1 hoặc x = -5

Vậy S = { 1 ; -5 }

a, Xét tam giác ABC và tam giác EDC ta có : 

^C _ chung 

\(\frac{BC}{DC}=\frac{AC}{EC}\)

^BAE = ^CED = 90^0 

=> tam giác ABC ~ tam giác CED ( g.c.g ) 

HAB ? ^H ở đâu bạn ? 

b, Vì AD là tia phân giác tam giác ABC ta có : 

\(\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}\Leftrightarrow\frac{9}{12}=\frac{BD}{DC}\)

hay \(\frac{BD}{DC}=\frac{9}{12}\)tự tính BD và CD nhé 

c, Vì AB vuông AC ; DE vuông AC => AB // DE. Áp dụng hệ quả Ta lét : 

\(\frac{CE}{BC}=\frac{DE}{AB}\)thay dữ liệu bên phần b tính 

d, Áp dụng Py ta go với dữ kiện bên trên tìm tí số 

Theo BĐT Cosi ta có: \(\hept{\begin{cases}\frac{x^4+y^4}{2}\ge\sqrt{x^4\cdot y^4}=x^2y^2\\\frac{y^4+z^4}{2}\ge\sqrt{y^4\cdot z^4}=y^2z^2\\\frac{z^4+x^4}{2}\ge\sqrt{z^4\cdot x^4}=x^2z^2\end{cases}\Rightarrow x^4+y^4+z^4\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}\)

chứng minh tương tự: \(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge xy^2z+xyz^2+x^2yz\Leftrightarrow x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2\ge xyz\left(x+y+z\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2\ge3xyz\)(do x+y+z=3) 

Do đó: \(x^4+y^4+z^4\ge3xyz\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^4=y^4;y^4=z^4;z^4=x^4\\x^2y^2=y^2z^2;y^2z^2=z^2x^2;z^2x^2=x^2y^2\end{cases}\Leftrightarrow x=y=z}\)(1)

mà x+y+z=3 (2)

Từ (1) và (2) => 3x=3 => x=1 => y=z=1

=> \(x^{2018}+y^{2019}+x^{2020}=1+1+1=3\)

\(\left(a^3-3ab^2\right)^2=25\Leftrightarrow a^6-6a^4b^2+9a^2b^4=25\)

\(\left(b^3-3a^2b\right)^2=100\Leftrightarrow b^6-6a^2b^4+9a^4b^2=100\)

\(\Rightarrow a^6-6a^4b^2+9a^2b^4+b^6-6a^2b^4+9a^4b^2=125\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2\right)^2=125\Leftrightarrow a^2+b^2=5\)

Thay a²+b²=5 vào S=2018a²+2018b²=2018(a²+b²)=2018.5=10090

Xét n=1 ta có n⁴+4ⁿ=5 thỏa mãn

Xét n>1. Nếu n chẵn thì n⁴+4ⁿ chia hết cho 2 và n⁴+4ⁿ>2 nên n⁴+4ⁿ là hợp số

Nếu n lẻ ta đặt n=2k+1(k thuộc N) ta có:

n⁴+4ⁿ=(n²)²+(4^k.2)²=(n²+4^k.2)²-2n²+4^k.2

=(n²+4^k.2)²-(2n.2^k)²=(n²-2n.2^k+4^k.2)(n²+2n.2^k+4^k.2)

Tích cuối là 1 hợp số

Vậy n=1 thỏa mãn bài toán

=(2+1)(2²+1)(2⁴+1)...(2²⁵⁶+1)+1

=(2-1)(2+1)(2²+1)(2⁴+1)...(2²⁵⁶+1)+1

=(2²-1)(2²+1)(2⁴+1)...(2²⁵⁶+1)+1

=(2⁴-1)(2⁴+1)...(2²⁵⁶+1)+1

=(\(\text{2}^{16}-1\))...(2²⁵⁶+1)+1

=(2²⁵⁶-1)(2²⁵⁶+1)+1

=\(\text{2}^{65536}\)

Ta có : \(AB//MN\)(đã chứng minh)

\(\Rightarrow\widehat{AEM}=\widehat{EMF}\)(2 góc ở vị trí đồng vị) (1)

\(\Delta MEC\)cân tại M có đường cao MF ứng với cạnh đáy BC

\(\Rightarrow\)MF đồng thời là  phân giác của \(\widehat{EMC}\)

\(\Rightarrow\widehat{EMF}=\widehat{CMF}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) 

\(\Rightarrow\widehat{AEM}=\widehat{FMC}\)\(\Rightarrow\widehat{AEM}=\widehat{NMC}\)\(\Rightarrow2\widehat{AEM}=2\widehat{NMC}\left(3\right)\)

Chứng minh được MNCD là hình thoi 

Xét hình thoi MNCD có MC là đường chéo 

\(\Rightarrow MC\)là phân giác của \(\widehat{NMD}\)(tính chất)

\(\Rightarrow2\widehat{NMC}=\widehat{NMD}\)

Mà \(\widehat{NMD}=\widehat{BAM}\)(vì \(AB//MN\))

\(\Rightarrow2\widehat{NMC}=\widehat{BAM}\left(4\right)\)

Từ (3) và (4) 

\(\Rightarrow\)\(2\widehat{AEM}=\widehat{BAM}\)

\(\Rightarrow2\widehat{AEM}=\widehat{BAD}\)(điều phải chứng minh)