ta chứng minh A>=2 (1) thật vậy

\(A\ge2\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge4\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz\ge x^2+y^2+z^2+xyz\)

\(\Leftrightarrow2xy+2yz+2xz\ge xyz\)

từ giả thiết => \(0\le x;y;z\le2\)do đó \(2xy+2yz+2zx\ge2xy\ge xyz\)

vậy (1) được chứng minh. dấu "=" xảy ra khi (x;y;z)=(2;0;0) và các hoán vị

\(P=\frac{9}{1-2\left(xy+yz+xz\right)}+\frac{2}{xyz}=\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2-2\left(xy+yz+xz\right)}+\frac{2\left(x+y+z\right)}{xyz}\)

\(=\frac{9}{x^2+y^2+z^2}+\frac{6\sqrt[3]{xyz}}{xyz}\ge\frac{9}{x^2+y^2+z^2}+\frac{18}{3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}}\)

\(\ge\frac{9}{x^2+y^2+z^2}+\frac{36}{2\left(xy+yx+xz\right)}\ge9\left(\frac{1}{\left(x+y+z\right)^2}+\frac{2^2}{2\left(xy+yz=xz\right)}\right)\)

\(\ge\frac{81}{\left(x+y+z\right)^2=81}\)

Dấu = xảy ra khi x =  y = z = 1/3

Xét: \(x^4+y^4-xy\left(x^2+y^2\right)=\left(x^2+y^2+xy\right)\left(x-y\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow x^4+y^4\ge xy\left(x^2+y^2\right)\)(*)

Tương tự với (*) ta có: \(\hept{\begin{cases}y^4+z^4\ge yz\left(y^2+z^2\right)\\z^4+x^4\ge zx\left(z^2+x^2\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\Sigma_{cyc}\frac{1}{x^4+y^4+z}\le\Sigma_{cyc}\frac{1}{xy\left(x^2+y^2\right)+z.xyz}=\Sigma_{cyc}\frac{1}{xy\left(x^2+y^2+z^2\right)}=\frac{x+y+z}{x^2+y^2+z^2}\)

Ta có:\(x^2+y^2+z^2\ge\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2\) và \(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}=3\)

\(\Rightarrow\Sigma_{cyc}\frac{1}{x^4+y^4+z}\le\frac{x+y+z}{x^2+y^2+z^2}\le\frac{1}{\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)}\le1\)

Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1

Ta có hệ : \(\hept{\begin{cases}x^2+y^2=\frac{1}{2}\\\left(x+y\right)^3+\left(x-y\right)^3=1\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x^2+2y^2=1\\2x^3+6xy^2=1\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}2y^2=1-2x^2\left(1\right)\\2x^3+6xy^2=1\left(2\right)\end{cases}}\)

Dễ thấy \(y=0\) không là nghiệm nên thế (1) và (2) ta có : \(2x^3+3.x.\left(1-2x^2\right)=1\)

\(\Leftrightarrow4x^3-3x+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(2x-1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-1\\x=\frac{1}{2}\end{cases}}\)

+) Với \(x=-1\) thì ta có : \(\hept{\begin{cases}\left(-1\right)^2+y^2=\frac{1}{2}\\\left(-1+y\right)^3+\left(-1-y\right)^3=1\end{cases}}\) ( Vô nghiệm )

+) Với \(x=\frac{1}{2}\) thì ta có : \(\left(\frac{1}{2}\right)^2+y^2=\frac{1}{2}\Leftrightarrow y=\pm\frac{1}{2}\). Thỏa mãn hệ phương trình.

Vậy hệ pt có 2 nghiệm \(\left(x,y\right)=\left\{\left(\frac{1}{2};-\frac{1}{2}\right),\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\right\}\)

ĐKXĐ: x \(\ge\)0; x \(\ne\)1 ; x \(\ne\)4

a) P = \(\left(\sqrt{x}-\frac{x+2}{\sqrt{x}+1}\right):\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}-4}{1-x}\right)\)

P = \(\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)-x-2}{\sqrt{x}+1}:\frac{\sqrt{x}\left(1-\sqrt{x}\right)-\sqrt{x}+4}{\left(1-\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

P = \(\frac{x+\sqrt{x}-x-2}{\sqrt{x}+1}\cdot\frac{\left(1-\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}-x-\sqrt{x}+4}\)

P = \(\frac{\left(1-\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}{4-x}\)

P = \(\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\)

P = \(\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}\)

b) P < 0 <=> \(\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}< 0\)

Do \(\sqrt{x}+2>0\) => \(\sqrt{x}-1< 0\) => \(\sqrt{x}< 1\) => \(x< 1\)

kết hợp với đk => S = {x| \(0\le x< 1\)}

c) P = \(\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}=\frac{\sqrt{x}+2-3}{\sqrt{x}+2}=1-\frac{3}{\sqrt{x}+2}\ge-\frac{1}{2}\)

Do \(\sqrt{x}+2\ge2\) => \(-\frac{3}{\sqrt{x}+2}\ge-\frac{3}{2}\) => \(1-\frac{3}{\sqrt{x}+2}\ge-\frac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra <=>  x = 0

Vậy MinP = -1/2 khi x = 0

\(P=\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}+\frac{3}{x+y+z}\)

\(=x+y+z+\frac{9}{x+y+z}-\frac{6}{x+y+z}\)

\(\ge6-\frac{6}{3\sqrt[3]{xyz}}=6-\frac{6}{3}=4\)

Dấu = xảy ra khi x = y = z = 1

\(x+\sqrt{2x+1}=1+\sqrt{x+2}\) với \(x\ge-\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow x-1+\sqrt{2x+1}-\sqrt{x+2}=0\)

\(\Leftrightarrow x-1+\frac{x-1}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{x+2}}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(1+\frac{1}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{x+2}}\right)=0\)

Dễ thấy \(1+\frac{1}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{x+2}}>0\forall x\)nên \(x-1=0\Leftrightarrow x=1\left(TM\right)\)

Ta có: \(A=\frac{\sqrt{x}+7}{\sqrt{x}+4}=\frac{\left(\sqrt{x}+4\right)+3}{\sqrt{x}+4}=1+\frac{3}{\sqrt{x}+4}\)

a) Vì \(\sqrt{x}+4\ge4>3\left(\forall x\right)\)

\(\Rightarrow\frac{3}{\sqrt{x}+4}\) luôn không nguyên

=> A luôn không nguyên

b) Không thể tìm được giá trị nhỏ nhất của A, ta chỉ có thể tìm được GTLN:

\(\sqrt{x}+4\ge4\left(\forall x\right)\)

\(\Rightarrow\frac{3}{\sqrt{x}+4}\le\frac{3}{4}\left(\forall x\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\sqrt{x}=0\Rightarrow x=0\)

Vậy Max(A) = 7/4 khi x = 0

chỉ làm được câu a do hơi gà 

\(P=\frac{1}{2\left(1+\sqrt{a}\right)}+\frac{1}{2\left(1-\sqrt{a}\right)}-\frac{a^2+2}{1-a^3}\)

\(=\frac{1-\sqrt{a}+1+\sqrt{a}}{2\left(1-a\right)}-\frac{a^2+2}{\left(1-a\right)\left(1-a+a^2\right)}\)

\(=\frac{1-a+a^2-a^2+2}{\left(1-a\right)\left(1-a+a^2\right)}=\frac{3-a}{\left(1-a\right)\left(1-a+a^2\right)}\)

sửa dòng cuối :))

\(\frac{1-a+a^2-a^2-2}{\left(1-a\right)\left(1-a+a^2\right)}=\frac{-1-a}{\left(1-a\right)\left(1-a+a^2\right)}\)