\(\frac{2x-1}{2}-1=\frac{x^2+x-3}{x-1}-\frac{5x-2}{2-2x}\)ĐKXĐ : \(x\ne1\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(2x-1\right)\left(x-1\right)}{2\left(x-1\right)}-\frac{2\left(x-1\right)}{2\left(x-1\right)}=\frac{2x^2+2x-6}{2\left(x-1\right)}-\frac{5x-2}{2\left(x-1\right)}\)

\(\Rightarrow2x^2-3x+1-2x+2=2x^2+2x-6-5x+2\)

\(\Leftrightarrow2x^2-5x+3=2x^2-3x-4\Leftrightarrow-2x+7=0\Leftrightarrow x=\frac{7}{2}\)( tmđk )

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = { 7/2 }

\(\frac{2x-3}{4}-x+2=\frac{x-1}{3}\)

\(\Leftrightarrow\frac{2x-3}{4}-\frac{x-2}{1}=\frac{x-1}{3}\)

\(\Leftrightarrow\frac{6x-9-12x+24}{12}=\frac{4x-4}{12}\)

\(\Rightarrow-6x+15=4x-4\Leftrightarrow-10x=-19\Leftrightarrow x=\frac{19}{10}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = { 19/10 } 

19/10 nha tui tính rùi

Dễ dàng chứng minh được: 

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)với \(x,y>0\)(1)

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow x=y>0\)

Ta có:

\(\frac{a}{bc\left(a+1\right)}=\frac{a}{abc+bc}=\frac{a}{ab+bc+ca+bc}=\frac{a}{\left(ab+bc\right)+\left(bc+ca\right)}\)

Áp dụng (1), ta được:

\(\frac{1}{ab+bc}+\frac{1}{bc+ca}\ge\frac{4}{\left(ab+bc\right)+\left(bc+ca\right)}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{4\left(ab+bc\right)}+\frac{1}{4\left(bc+ca\right)}\ge\frac{1}{ab+bc+bc+ca}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{4}\left(\frac{1}{ab+bc}+\frac{1}{bc+ca}\right)\ge\frac{a}{ab+bc+bc+ca}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{4}\left(\frac{1}{ab+bc}+\frac{1}{bc+ca}\right)\ge\frac{a}{bc\left(a+1\right)}\left(2\right)\)

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow b=c>0\)

Chúng minh tương tự, ta được:

\(\frac{b}{4}\left(\frac{1}{ab+ca}+\frac{1}{bc+ca}\right)\ge\frac{b}{ca\left(b+1\right)}\left(3\right)\)

Dấu bằng xảu ra \(\Leftrightarrow a=c>0\).

\(\frac{c}{4}\left(\frac{1}{ac+ab}+\frac{1}{ab+bc}\right)\ge\frac{c}{ab\left(c+1\right)}\left(4\right)\)

Từ (2), (3) và (4), ta được:

\(\frac{a}{bc\left(a+1\right)}+\frac{b}{ca\left(b+1\right)}+\frac{c}{ab\left(c+1\right)}\le\)\(\frac{a}{4}\left(\frac{1}{ab+bc}+\frac{1}{bc+ac}\right)+\frac{b}{4}\left(\frac{1}{ac+bc}+\frac{1}{ac+ab}\right)\)\(+\frac{c}{4}\left(\frac{1}{ab+bc}+\frac{1}{ab+ac}\right)\)

\(\Leftrightarrow P\le\frac{1}{4}.\left(\frac{a}{ab+bc}+\frac{c}{ab+bc}\right)+\frac{1}{4}\left(\frac{a}{bc+ac}+\frac{b}{bc+ac}\right)\)\(+\frac{1}{4}\left(\frac{b}{ab+ac}+\frac{c}{ab+ac}\right)\)

\(\Leftrightarrow P\le\frac{a+c}{4\left(ab+bc\right)}+\frac{a+b}{4\left(bc+ac\right)}+\frac{b+c}{4\left(ab+ac\right)}\)

\(\Leftrightarrow P\le\frac{a+c}{4b\left(a+c\right)}+\frac{a+b}{4c\left(a+b\right)}+\frac{b+c}{4a\left(b+c\right)}\)

\(\Leftrightarrow P\le\frac{1}{4b}+\frac{1}{4c}+\frac{1}{4a}\)

\(\Leftrightarrow P\le\frac{1}{4}\left(\frac{ab+bc+ca}{abc}\right)\)

\(\Leftrightarrow P\le\frac{1}{4}.\frac{abc}{abc}=\frac{1}{4}.1=\frac{1}{4}\)( vì \(ab+bc+ca=abc\))

Dấu bằng xảy ra

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b=c>0\\ab+bc+ca=abc\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c=3\)

Vậy \(minP=\frac{1}{4}\Leftrightarrow a=b=c=3\)

chịu em ko bik j hết nè>>>

- GTLN :

\(K=\frac{3-4x}{2x^2+2}\)

\(=\frac{-\left(4x^2+4x+1\right)+2\left(2x^2+2\right)}{2x^2+2}\)

\(=\frac{-\left(2x+1\right)^2}{2x^2+2}+2\le2\) ( do \(\frac{-\left(2x+1\right)^2}{2x^2+2}\le0\))

Vậy GTLN của K = 2 khi và chỉ khi \(x=\frac{-1}{2}\)

Đặt \(\hept{\begin{cases}x-2018=a\\x-2019=b\end{cases}}\)

\(\Rightarrow a+b=2x-4037\)

Khi đó ,PT đã cho tương đương với :

\(a^3+b^3-\left(a+b\right)^3=0\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3=\left(a+b\right)^3\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3=a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow3ab\left(a+b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}ab=0\\a+b=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\left(x-2018\right)\left(x-2019\right)=0\left(1\right)\\2x-4037=0\left(2\right)\end{cases}}\)

Từ \(\left(1\right):\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-2018=0\\x-2019=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=2018\\x=2019\end{cases}}\)

Từ \(\left(2\right):\Leftrightarrow2x-4037=0\)

\(\Leftrightarrow2x=4037\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{4037}{2}\)

Vậy tập nghiệm của PT là \(S=\left\{2018;2019;\frac{4037}{2}\right\}\)

AM - GM cho từng cặp số ta có : \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\ge\frac{2a}{c}\)

\(\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{2b}{a}\); \(\frac{c^2}{a^2}+\frac{a^2}{b^2}\ge\frac{2c}{b}\)

Cộng vế với vế của BĐT ta được : 

\(2\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a}\right)\ge2\left(\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\right)\)

Chia 2 vế của BĐT cho 2 ta có đpcm 

Bổ sung hộ mình dòng cuối : Dấu ''='' xảy ra khi a = b = c = 1