Giải phương trình:\(\sqrt{x-\sqrt{2x-5}-4}+\sqrt{x+\sqrt{2x-5}-4}=\sqrt{2}\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài làm:
a) Ta có: \(AB^2+AC^2=4^2+3^2=25=5^2=BC^2\)
=> Tam giác ABC vuông tại A
Đường cao AH, tính các cạnh còn lại?? Tính AH,HB,HC chăng?
Ta có: \(AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{12}{5}\left(cm\right)\)
\(HB=\frac{AB^2}{BC}=\frac{16}{5}\left(cm\right)\)
\(HC=\frac{AC^2}{BC}=\frac{9}{5}\left(cm\right)\)
b) Vì AD là phân giác ABC
=> \(\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{4}{3}\Rightarrow BD=\frac{4}{3}DC\)
Mà \(BD+DC=BC\)
\(\Leftrightarrow\frac{4}{3}DC+DC=5\)
\(\Leftrightarrow DC=\frac{15}{7}\left(cm\right)\Rightarrow BD=\frac{20}{7}\left(cm\right)\)
Bài toán số 41 có 2 cách làm, tôi làm cách thứ 2
Đặt \(Q=\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}}\)\(\Rightarrow Q^2=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}+2\left(\sqrt{\frac{xy}{\left(y+z\right)\left(x+z\right)}}+\sqrt{\frac{yz}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}}+\sqrt{\frac{xz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}\right)\)ta thấy rằng \(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}=\frac{1}{4}\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\right)\left(xy+yz+zx\right)\)
\(=\frac{x^2+y^2+z^2}{4}+\frac{xyz}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)\ge\frac{x^2+y^2+z^2}{4}\)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có \(\sqrt{\frac{yx}{\left(z+x\right)\left(x+y\right)}}\ge\frac{2yx}{2\sqrt{\left(xy+yz\right)\left(yz+yx\right)}}\ge\frac{2xy}{2xy+yz+xz}\ge\frac{2xy}{2\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{xy}{xy+yz+zx}\)
Tương tự ta có \(\hept{\begin{cases}\sqrt{\frac{yz}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\ge\frac{yz}{xy+yz+zx}\\\sqrt{\frac{xz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}\ge\frac{xz}{xy+yz+zx}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{xy}{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}}+\sqrt{\frac{yz}{\left(z+x\right)\left(x+y\right)}}+\sqrt{\frac{zx}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}\ge1\)nên \(Q\ge\sqrt{\frac{x^2+y^2+z^2}{4}+2}\)
\(\Rightarrow Q\ge\sqrt{\frac{x^2+y^2+z^2}{2}+4}+\frac{4}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\)
Đặt \(t=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\Rightarrow t\ge\sqrt{xy+yz+zx}=2\)
Xét hàm số g(t)=\(\sqrt{\frac{t^2}{2}+4}+\frac{4}{t}\left(t\ge2\right)\)khi đó ta có
\(g'\left(t\right)=\frac{t}{2\sqrt{\frac{t^2}{2}+4}}-\frac{4}{t^2};g'\left(t\right)=0\Leftrightarrow t^6-32t^2-256=0\Leftrightarrow t=2\sqrt{2}\)
Lập bảng biến thiên ta có min[2;\(+\infty\)) \(g\left(t\right)=g\left(2\sqrt{2}\right)=3\sqrt{2}\)
Hay minS=\(3\sqrt{2}\)<=> a=c=1; b=2
Đặt a=xc; b=cy (x;y >=1)
\(\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}=\sqrt{xy}\Leftrightarrow x+y-2+2\sqrt{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}=xy\)
\(\Leftrightarrow xy-x-y+1-2\sqrt{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}+1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}-1\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}=1\Leftrightarrow xy=x+y\ge2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\ge4\)
Biểu thức P được viết lại như sau
\(P=\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x^2+y^2}=\frac{x^2}{xy+x}+\frac{y^2}{xy+y}+\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{\left(x+y\right)^2-2xy}\)
\(P\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2xy+x+y}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{\left(x+y\right)^2-2xy}=\frac{xy}{3}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{x^2y^2-2xy}=\frac{x^3y^3-2x^2y^2+3xy-3}{3\left(x^2y^2-2xy\right)}\)
Đặt t=xy với t>=4
Xét hàm số \(f\left(t\right)=\frac{t^3-2t^2+3t-3}{t^2-2t}\left(t\ge4\right)\)
Ta có \(f'\left(t\right)=\frac{t^4-4t^3+t^2+6t-6}{\left(t^2-2t\right)^2}=\frac{t^3\left(t-4\right)+6\left(t-4\right)+18}{\left(t^2-2t\right)^2}>0\forall t\ge4\)
Lập bảng biến thiên ta có \(minf\left(t\right)=f\left(4\right)=\frac{41}{8}\)
Vậy \(minP=\frac{41}{24}\)khi x=y=z=2 hay a=b=2c
Đề có phải là : ' Từ 80 tấn quặng Pirit chứa 40% lưu huỳnh , người ta sản xuất được 73,5 tấn axit sunfuric . '' đúng không
a) sinα=0,25sinα=0,25
* Cách dựng: hình a
− Dựng góc vuông xOy.
− Trên tia Ox dựng đoạn OA bằng 1 đơn vị dài.
− Dựng cung tròn tâm A bán kính 4 đơn vị dài và cắt Oy tại B.
− Nối AB ta được ˆOBA=αOBA^=α cần dựng.
* Chứng minh: ta có: sinα=sinˆOBA=OAAB=14=0,25
Dựng đoạn thẳng BC. Từ B dựng nửa đường thẳng Bx vuông góc với BC
Dùng compa lấy C làm tâm dựng đường tròn bán kính = 2,5.BC, đường tròn cắt nửa đường thẳnng Bx tại A
=> sin ^BAC = sin a = 0,4
Ta có: \(\sqrt{2+\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.\sqrt{4+2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}\)
=> \(A=\frac{\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}-\frac{2}{\sqrt{6}}+\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{6}}}=\frac{\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{2}}}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}\)
a) \(\left(xy+1\right)^2=25\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}xy+1=5\\xy+1=-5\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}xy=4\\xy=-6\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{4}{y}\\x=-\frac{6}{y}\end{cases}}\)
+ Nếu: \(x=\frac{4}{y}\Leftrightarrow\left(\frac{4}{y}+y\right)^2=49\)
\(\Leftrightarrow y^2+8+\frac{16}{y^2}=49\)
\(\Leftrightarrow\frac{y^4+16}{y^2}=41\)
\(\Leftrightarrow y^4-41y^2+16=0\) => y vô tỉ (loại)
+ Nếu: \(x=-\frac{6}{y}\Rightarrow\left(y-\frac{6}{y}\right)^2=49\)
\(\Leftrightarrow y^2+\frac{36}{y^2}=49+12\)
\(\Leftrightarrow y^4-61y^2+36=0\) => y vô tỉ (loại)
=> hpt vô nghiệm
b) tương tự
a)
= \(\sqrt{18-6\sqrt{6}+3}\)
= \(\sqrt{\left(3\sqrt{2}\right)^2-2\cdot3\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^2}\)
= \(\sqrt{\left(3\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)^2}\)
= \(|3\sqrt{2}-\sqrt{3}|\)
= \(3\sqrt{2}-\sqrt{3}\)
b)
= \(\sqrt{\frac{7}{2}-\sqrt{7}+\frac{1}{2}}\)
= \(\sqrt{\left(\sqrt{\frac{7}{2}}\right)^2+2\cdot\sqrt{\frac{7}{2}}\cdot\sqrt{\frac{1}{2}}+\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)^2}\)
= \(\sqrt{\left(\sqrt{\frac{7}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}\right)^2}\)
= \(|\sqrt{\frac{7}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}|\)
= \(\sqrt{\frac{7}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}\)
c)
= \(\sqrt{3+2\sqrt{3}+1}\)
= \(\sqrt{\left(\sqrt{3}\right)^2+2\cdot\sqrt{3}\cdot1+1^2}\)
= \(\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}=\sqrt{3}+1\)
d)
Đặt t = \(\sqrt{x-1}\left(ĐK:t\ge0\right)\)
= \(\sqrt{t^2+1-2t}\)
= \(\sqrt{\left(t+1\right)^2}\)
\(=t+1\)
= \(\sqrt{x-1}+1\)
\(\sqrt{21-6\sqrt{6}}=\sqrt{18-2\sqrt{9}\sqrt{6}+3}=\sqrt{\left(\sqrt{18}\right)^2-2\sqrt{18}\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^2}\)
\(=\sqrt{\left(\sqrt{18}+\sqrt{3}\right)^2}=\sqrt{18}+\sqrt{3}=\sqrt{3}+3\sqrt{2}\)
\(\sqrt{4-\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{2}\sqrt{4-\sqrt{7}}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{8-2\sqrt{7}}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{7-2\sqrt{7}+1}}{\sqrt{2}}\)
\(=\frac{\sqrt{\left(\sqrt{7}-1\right)^2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{7}-1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{14}-\sqrt{2}}{2}\)
\(\sqrt{4+2\sqrt{3}}=\sqrt{3+2\sqrt{3}+1}=\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}=\sqrt{3}+1\)
Với \(x\ge1\)thì \(\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}=\sqrt{\left(x-1\right)-2\sqrt{x-1}+1}\)
\(=\sqrt{\left(\sqrt{x-1}\right)^2-2\sqrt{x-1}\sqrt{1}+\left(\sqrt{1}\right)^2}\)
\(=\sqrt{\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2}=\sqrt{x-1}-1\)
T đã tốn mấy phút cuộc đời viết lời giải cho bạn r, tiếc j mấy giây mà bấm k cho t ik =))
Bài làm:
đk: \(x\ge3\)
Pt <=> \(\left(\sqrt{x-\sqrt{2x-5}-4}+\sqrt{x+\sqrt{2x-5}-4}\right)^2=\left(\sqrt{2}\right)^2\)
<=> \(x-\sqrt{2x-5}-4+x+\sqrt{2x-5}-4+2\sqrt{\left(x-4\right)^2-2x+5}=2\)
<=> \(2x-10=-2\sqrt{x^2-4x+4-2x+5}\)
<=> \(2x-10+2\sqrt{x^2-6x+9}=0\)
<=> \(2x-10+2\sqrt{\left(x-3\right)^2}=0\)
<=> \(2\left|x-3\right|=10-2x\)
<=> \(\left|x-3\right|=5-x\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-3=5-x\\x-3=x-5\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}2x=8\\0x=-2\left(∄x\right)\end{cases}\Rightarrow}x=4\)