M = ( x + 2 )³ - ( x - 2 )³

= ( x + 2 - x + 2 )[ ( x + 2 )² + ( x + 2 )( x - 2 ) + ( x - 2 )² ]

= 4( x² + 4x + 4 + x² - 4 + x² - 4x + 4 )

= 4( 3x² + 4 ) = 12x² + 16 ≥ 16 ∀ x

Dấu "=" xảy ra <=> x = 0 . Vậy MinM = 16

\(n^2\)chứ không phải \(n^3\)nhé.

Đặt \(A=n^2-2n+5\).

\(A=\left(x^2-2x+1\right)+4\).

\(A=\left(x-1\right)^2+4\).

Ta có \(\left(x-1\right)^2\ge0\forall x\).

\(\Rightarrow\left(x-1\right)^2+4\ge4\forall x\).

\(\Rightarrow A\ge4\).

Dấu bằng xảy ra.

\(\Leftrightarrow x-1=0\Leftrightarrow x=1\).

Vậy \(minA=4\Leftrightarrow x=1\).

a, \(-7x+13>-7y+13\Leftrightarrow-7x>-7y\Leftrightarrow x< y\)

b, \(11x-1>11y+1\Leftrightarrow11x+1>11y+1\Leftrightarrow x>y\)

c, \(-19x-37< -19y-37\Leftrightarrow-19x< -19y\Leftrightarrow x>y\)

d, \(-23x-2>-23y+3\Leftrightarrow-23x+3>-23y+3\Leftrightarrow x< y\)

Trước hết, ta chứng minh bất đẳng thức: 

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)với \(x;y>0\).\(\left(1\right)\)(bạn tự chứng minh nhé).

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow x=y>0\)

Đặt \(A=\frac{1}{ab}+\frac{3}{a^2+4b^2}\).

\(A=\frac{4}{4ab}+\frac{3}{a^2+4b^2}=3\left(\frac{1}{4ab}+\frac{1}{a^2+4b^2}\right)+\frac{1}{4ab}\).

Vì \(a;b>0\)nên áp dụng bất đẳng thức \(\left(1\right)\)cho 2 số dương, ta được:

\(\frac{1}{4ab}+\frac{1}{a^2+4b^2}\ge\frac{4}{a^2+4ab+4b^2}=\frac{4}{\left(a+2b\right)^2}\).

\(\Leftrightarrow3\left(\frac{1}{4ab}+\frac{1}{a^2+4b^2}\right)\ge\frac{12}{\left(a+2b\right)^2}\).

\(\Leftrightarrow3\left(\frac{1}{4ab}+\frac{1}{a^2+4b^2}\right)\ge\frac{12}{1^2}=12\)(vì \(a+2b=1\)) \(\left(2\right)\).

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a^2+4b^2=4ab\Leftrightarrow\left(a-2b\right)^2=0\).

\(\Leftrightarrow a=2b\)mà \(a+2b=1\)nên \(a=\frac{1}{2};b=\frac{1}{4}\).

Vì \(a;b>0\)nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương, ta được:

\(a+2b\ge2\sqrt{2ab}\).

\(\Leftrightarrow\left(a+2b\right)^2\ge4.2ab\).

\(\Leftrightarrow1^2\ge8ab\)(vì \(a+2b=1\)).

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\ge4ab\).

\(\Rightarrow\frac{1}{\frac{1}{2}}\le\frac{1}{4ab}\Leftrightarrow2\le\frac{1}{4ab}\left(3\right)\).

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=2b\)mà \(a+2b=1\)nên \(a=\frac{1}{2};b=\frac{1}{4}\).

Từ \(\left(2\right)\)và \(\left(3\right)\), ta được:

\(3\left(\frac{1}{4ab}+\frac{1}{a^2+4b^2}\right)+\frac{1}{4ab}\ge12+2\).

\(\Leftrightarrow A\ge14\)(điều phải chứng minh).

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=\frac{1}{2};b=\frac{1}{4}\).

Vậy nếu \(a;b>0\)thỏa mãn \(a+2b=1\)thì \(\frac{1}{ab}+\frac{3}{a^2+4b^2}\ge14\).

Áp dụng bđt AM-GM ta có : 

\(P=\frac{x}{2}+\frac{1}{2x}+\frac{5x}{2}\ge2\sqrt{\frac{x}{4x}}+\frac{5x}{2}\ge2.\frac{1}{2}+\frac{5}{2}=1+\frac{5}{2}=\frac{7}{2}\)