a) E nằm trên đường tròn đường kính CD

=> Tam giác CDE vuông tại E

=> DE // AB

Gọi M là trung điểm của AE

HM là đường trung bình của hình thang ABDE

=> HM // AB => \(HM\perp AB\)

=> Tam giác AHE cân tại H => \(\widehat{AEH}=\widehat{EAH}\)

Tam giác COE cân tại O => \(\widehat{OEC}=\widehat{OCE}\)

=> \(\widehat{OEC}+\widehat{AEH}=\widehat{OCE}+\widehat{EAH}=90^o\)

=> \(HE\perp OE\)=> Đpcm 

b) Tam giác ABC vuông tại A 

=> \(BC^2=AB^2+AC^2=289\)

=> BC = 17 

Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH

=> AB . AC = AH . BC 

=> \(HE=AH=\frac{120}{17}\)

a/

Ta có sđ ^NOB = sđ cung NB (góc ở tâm)

sđ cung NB = 1/2 sđ cung BC

=> sđ ^NOB = 1/2 sđ cung BC (1)

Ta có  sđ ^BAD = 1/2 sđ cung BC (góc nội tiếp đường tròn) (2)

Từ (1) và (2) => ^BAD = ^NOB => ON//AD (3) (hai đt bị cắt bởi 1 cát tuyến có 2 góc so le trong bằng nhau thì chúng // với nhau)

Mà ND vuông góc AD (đề bài) (4)

Từ (3) và (4) => ND vuông góc ON 

=> ND là tiếp tuyến của (O) tại N (đường thẳng đi qua 1 điểm trên đường tròn mà vuông góc với bán kính tại điểm đi qua thì dt đó là tt)

b/

Ta có sđ cung NC = 1/2 sđ cung BC

sđ cung CM = 1/2 sđ cung AC

=> sđ cung NC + sđ cung CM = sđ cung MN = 1/2 (sđ cung BC +  sđ cung AC) = (1/2).180 = 90

c/

Xét tg OMN có OM và ON không đổi = BK đường tròn => tg OMN cân tại O

sđ cung MN không đổi = 90 => MN không đổi

Từ O hạ đường thẳng vuông góc với MN tại K => OK là đường cao đồng thời là đường trung trực của tg OMN => K là trung điểm của MN và OK không đổi => Khi C thay đổi K luôn chạy trên đường tròn tâm O bán kính OK

Mà MN vuông góc với OK tại K => MN là tiếp tuyến của đường tròn tâm O bán kính OK 

O cố định nên đường tròn tâm O bán kính OK cố định

=> MN luôn tiếp xúc với đường tròn tâm O bán kính OK cố định

Nguyễn Ngọc Anh Minh

câu c bạn phải tính ra OK rùi mới nói nó không đổi nha

a.  Đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2 

=> x = 2 và y = 0 

=> 0 = (2 + 3m ) .2 + 4 

<=> 2 + 3m = -2  <=> m = -4/3

b. Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tug độ bằng 4  => x = 0 và y = 4

=> 4  = ( 2 + 3m) .0 +  4

<=> 4 = 4 luôn đúng với mọi m 

Vậy mọi m thì đồ thị cắt trục tug tại điểm có tung độ bằng 4

\(\left(\sqrt{x+2\sqrt{5}}\right)^2=\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2\Leftrightarrow x+2\sqrt{5}=\left(y+z\right)+2\sqrt{yz}\)

Vì \(2\sqrt{5}\)là thành phần vô tỉ mà cả \(x\)hay \(\left(y+z\right)\)đều nguyên dương vì vậy để có 1 hạng tử cân bằng với \(2\sqrt{5}\)thì buộc:

\(2\sqrt{yz}=2\sqrt{5}\Leftrightarrow yz=5\Rightarrow\orbr{\begin{cases}y=1,z=5\\y=5,z=1\end{cases}}\)

\(\Rightarrow x=y+z=6\)

Vậy nhận 2 nghiệm là \(\left(6;1;5\right),\left(6;5;1\right)\)

Ta có ; \(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\left(gt\right)\)

=> D là điểm chính giữa cung BC

=> DO vuông góc với BC tại trung điểm H của BC

lại có: \(\Delta BDM~\Delta BCF\Rightarrow\frac{BD}{BC}=\frac{DM}{CF}\Rightarrow\frac{BD}{2BH}=\frac{\frac{1}{2}DA}{CF}\Rightarrow\frac{BD}{BH}=\frac{DA}{CF}\)

Mà \(\widehat{D_1}=\widehat{C_2}\)( bẹn chứng minh ở phần a nhé)

\(\Rightarrow\Delta BDA~\Delta HCF\left(c.g.c\right)\Rightarrow\widehat{F_1}=\widehat{A_1}\)(2  góc tương ứng)

Mà A1=A2(gt) và A2=E1(cùng chắn 1 cung DC).

F1=E1=> tam giác EFHC nội tiếp