Ta có: \(x^4+y^4+\frac{x^4y^4}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)

\(=\left(x^4+2x^2y^2+y^4\right)-2x^2y^2+\frac{x^4y^4}{\left(x^2+y^2\right)}\)

\(=\left(x^2+y^2\right)^2-2x^2y^2+\left(\frac{x^2y^2}{x^2+y^2}\right)^2\)

\(=\left(x^2+y^2-\frac{x^2y^2}{x^2+y^2}\right)^2\)

Thay vào ta tính được:

\(P=\sqrt{\frac{x^2y^2}{x^2+y^2}+\frac{x^2y^2}{\left(x+y\right)^2}+\sqrt{\left(x^2+y^2-\frac{x^2y^2}{x^2+y^2}\right)^2}}\)

Mà \(x^2+y^2-\frac{x^2y^2}{x^2+y^2}=\frac{\left(x^2+y^2\right)^2-x^2y^2}{x^2+y^2}=\frac{x^4+x^2y^2+y^4}{x^2+y^2}>0\left(\forall x,y\right)\)

Khi đó:

\(P=\sqrt{\frac{x^2y^2}{x^2+y^2}+\frac{x^2y^2}{\left(x+y\right)^2}+x^2+y^2-\frac{x^2y^2}{x^2+y^2}}\)

\(P=\sqrt{x^2+y^2+\frac{x^2y^2}{\left(x+y\right)^2}}\)

\(P=\sqrt{\left(x^2+2xy+y^2\right)-2xy+\frac{x^2y^2}{\left(x+y\right)^2}}\)

\(P=\sqrt{\left(x+y\right)^2-2xy+\left(\frac{xy}{x+y}\right)^2}\)

\(P=\sqrt{\left(x+y-\frac{xy}{x+y}\right)^2}\)

\(P=\left|x+y-\frac{xy}{x+y}\right|=\left|\frac{x^2+xy+y^2}{x+y}\right|=\frac{x^2+xy+y^2}{x+y}\)

Vậy \(P=\frac{x^2+xy+y^2}{x+y}\)

sử dụng \((t+1/t)^2 = t^2 + 1/t^2 +2\)

\(\sqrt{x +4} = \frac{-2x}{5+x} -2 = \frac{-4x+5}{5+x}\\ \)

Bình phương cả 2 vế sẽ cho phương trình bậc 3....

\(ĐKXĐ:x\ne0\)

\(A=\sqrt{\frac{\left(x^2-3\right)^2}{x^2}+12}+\sqrt{\left(x+2\right)^2-8x}\)

\(=\sqrt{\frac{x^4-6x^2+9}{x^2}+\frac{12x^2}{x^2}}+\sqrt{x^2+4x+4-8x}\)

\(=\sqrt{\frac{x^4-6x^2+9+12x^2}{x^2}}+\sqrt{x^2-4x+4}\)

\(=\sqrt{\frac{x^4+6x^2+9}{x^2}}+\sqrt{\left(x-2\right)^2}\)

\(=\sqrt{\frac{\left(x^2+9\right)^2}{x^2}}+\sqrt{\left(x-2\right)^2}\)

\(=\frac{x^2+9}{\left|x\right|}+\left|x-2\right|=\frac{x^2}{\left|x\right|}+\frac{9}{\left|x\right|}+\left|x-2\right|\)

Vì \(x\inℤ\)\(\Rightarrow\frac{x^2}{\left|x\right|}\inℕ\), \(\left|x-2\right|\inℕ^∗\)

\(\Rightarrow\)Để A có giá trị nguyên thì \(\frac{9}{\left|x\right|}\inℕ^∗\)

\(\Rightarrow\left|x\right|\in\left\{1;3;9\right\}\)\(\Rightarrow x\in\left\{\pm1;\pm3;\pm9\right\}\)

Vậy \(x\in\left\{\pm1;\pm3;\pm9\right\}\)

Bình phương 2 số đó rồi so sánh

ta có MN=cosN x NP=0,766 x 5=3,83

   Vì góc N phụ với góc P  

 góc P=M-N=90-30=60

Mình cần chứng minh: x + 19; 2x + 10; 3x + 13; 4x + 37 là số chính phương 

Thật vậy: Đặt x + 19 = a² ; 4x + 37 = b² (g/s a; b \(\ge\)0)

=> \(4a^2-b^2=39\)

<=> (2a + b ).(2a - b) = 3.13 = 1.39

Vì 2a + b > 2a - b. Nên ta có các trường hợp sau

+) 3a + b = 13; 2a - b = 3 => 2a = 8; b = 5 => a = 4; b = 5 => x = - 3

Thay vào ta có \(\sqrt{x+19},\sqrt{2x+10},\sqrt{3x+13},\sqrt{4x+37}\)là các số nguyên 

=> x = - 3 thỏa mãn

+) 3a + b = 39; 2a - b = 1 => 2a = 20; b = 19 => a = 10; b = 19 => x = 81

Thay vào ta có \(\sqrt{2x+10}\)không là số nguyên 

=> x = 81 loại

\((a+b)^2 \leq 2(a^2+b^2)\)

Đặt a^2=x, b^2=y suy ra

\(P \geq x/(2x+3y) + y/(2y+3x) \\ \)

suy ra \(P -2/5 \geq (x-y)^2.A\) , ở đó A là số lớn hơn 0

suy ra GTNN của P =2/5

Ở dòng thứ 4 sao lại được \(\left(x-y\right)^2.A\)vậy bạn ???