Xet tứ giác BHCK có

MH=MK; MB=MC => BHCK là hình bình hành (Tứ giác có các cặp cạnh đối cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hbh)

=> CK//BH mà BH vuông góc với AC => CK vuông góc với AC => \(\widehat{ACK}=90^o\)

=> BK//CH mà CH vuông góc với AB => BK vuông góc với AB => \(\widehat{ABK}=90^o\)

\(A=\sqrt{37+20\sqrt{3}}\)

\(A=\sqrt{37+10\sqrt{12}}\)

\(A=\sqrt{5^2+10\sqrt{12}+\sqrt{12}^2}\)

\(A=\sqrt{\left(5+\sqrt{12}\right)^2}\)

\(A=\left|5+\sqrt{12}\right|\)

\(A=5+\sqrt{12}\)

\(\frac{2021^3-1}{2021^2+2022}\)

\(\frac{\left(2021-1\right)\left(2021^2+2021.1+1^2\right)}{2021^2+2022}\)

\(\frac{\left(2021-1\right)\left(2021^2+2022\right)}{2021^2+2022}\)

\(=\left(2021-1\right)\)

\(=2020\)

\(a,\sqrt{x}+3-x-3\sqrt{x}=0\)

\(-2\sqrt{x}-x+3=0\)

\(x+2\sqrt{x}-3=0\)

\(x-\sqrt{x}+3\sqrt{x}-3=0\)

\(\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)+3\left(\sqrt{x}-1\right)=0\)

\(\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+3\right)=0\)

\(\orbr{\begin{cases}\sqrt{x}=1< =>x=1\left(tm\right)\\\sqrt{x}=-3\left(KTM\right)\end{cases}}\)

\(b,\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-5\right)-x+25=0\)

\(x-5\sqrt{x}-x+25=0\)

\(-5\sqrt{x}+25=0\)

\(\sqrt{x}=5\)

\(x=25\left(TM\right)\)

a/

\(\widehat{ABD}=\widehat{CBF}=\frac{\widehat{ABC}}{3}\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{CBF}=\widehat{DBF}=\frac{\widehat{ABC}}{3}\)

\(\widehat{ACE}=\widehat{BCK}=\frac{\widehat{ACB}}{3}\Rightarrow\widehat{ACE}=\widehat{BCK}=\widehat{ECK}=\frac{\widehat{ACB}}{3}\)

Xét \(\Delta EBI\) có 

\(\widehat{AEC}=\widehat{ABD}+\widehat{EIB}\) (Trong 1 tg số đo góc ngoài bằng tổng hai góc trong không kề với nó)

\(\Rightarrow\widehat{EIB}=\widehat{AEC}-\widehat{ABD}=90^o-\widehat{ACE}-\widehat{ABD}=\)

\(=90^o-\left(\frac{\widehat{ACB}+\widehat{ABC}}{3}\right)=90^o-\frac{180^o-\widehat{A}}{3}=90^o-\frac{180^o-90^o}{3}=60^o\)

Ta có

\(\widehat{BIC}=180^o-\widehat{EIB}=180^o-60^o=120^o\)

Xét \(\Delta BIC\) có

\(\widehat{CBF}=\widehat{DBF}\) => BF là phân giác của \(\widehat{IBC}\)

\(\widehat{BCK}=\widehat{ECK}\) => CK là phân giác của \(\widehat{ICB}\)

=> H lag giao của 3 đường phân giác của \(\Delta BIC\) => IH là phân giác của \(\widehat{BIC}\Rightarrow\widehat{BIH}=\widehat{HIC}=\frac{\widehat{BIC}}{2}=\frac{120^o}{2}=60^o\)

b/

Xét \(\Delta EBI\) và  \(\Delta HBI\) có

BI chung

\(\widehat{ABD}=\widehat{DBF};\widehat{EIB}=\widehat{BIH}=60^o\)

\(\Rightarrow\Delta EBI=\Delta HBI\left(g.c.g\right)\Rightarrow IE=IH\) (1)

Xét \(\Delta DCI\) và \(\Delta HCI\) có

\(\widehat{DIC}=\widehat{EIB}=60^o\) (Góc đối đỉnh) \(\Rightarrow\widehat{DIC}=\widehat{HIC}=60^o\)

\(\widehat{ACE}=\widehat{ECK}\)

CI chung

\(\Rightarrow\Delta DCI=\Delta HCI\left(g.c.g\right)\Rightarrow ID=IH\) (2)

Từ (1) và (2) => IE=ID => \(\Delta IDE\) cân tại I

Ta có: x² + 2y² - 2xy + 2x - 4y + 2 = 0

<=> (x - y)² + 2(x - y) + 1 + y² - 2y + 1 = 0

<=> (x - y + 1)² + (y - 1)² = 0

<=> \(\hept{\begin{cases}x-y+1=0\\y-1=0\end{cases}}\) <=> \(\hept{\begin{cases}y=1\\x=y-1=1-1=0\end{cases}}\)

Vậy (x;y) = {(0; 1)}

\(9x^2+12x+16-18x-24+9=49\)

\(9x^2-6x+1=49\)

\(9x^2-6x-48=0\)

\(9x^2-24x+18x-48=0\)

\(9x\left(x+2\right)-24\left(x+2\right)=0\)

\(\left(x+2\right)\left(9x-24\right)=0\)

\(\orbr{\begin{cases}x+2=0\\9x-24=0\end{cases}\orbr{\begin{cases}x=-2\left(tm\right)\\x=\frac{24}{9}\left(tm\right)\end{cases}}}\)

Trả lời:

x² + 6x - y² + 9

= ( x² + 6x + 9 ) - y²

= ( x² + 2.x.3 + 3² ) - y²

= ( x + 3 )² - y² 

= ( x + 3 - y ) ( x + 3 + y )

\(x^2+6x-y^2+9\)

\(=\left(x^2+6x+9\right)-y^2\)

\(=\left(x+3\right)^2-y^2\)

\(=\left(x+3-y\right)\left(x+3+y\right)\)

 Ta có : \(\Sigma\dfrac{ab}{a^2+b^2}=3-\Sigma\dfrac{a^2+b^2-ab}{a^2+b^2}\) 

Thấy : \(0< ab\left(a^2+b^2-ab\right)\le\dfrac{\left(a^2+b^2\right)^2}{4}\)   

\(\Rightarrow\dfrac{a^2+b^2-ab}{a^2+b^2}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{a^2+b^2}{ab}\right)=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)\)

CMTT ; ta có : \(\dfrac{b^2+c^2-bc}{b^2+c^2}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\right);\dfrac{c^2+a^2-ac}{a^2+c^2}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}\right)\)

Suy ra : \(\Sigma\dfrac{ab}{a^2+b^2}\ge3-\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}\right)=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{a+c}{b}+\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{c+a}{b}\right)\)

Thấy : \(\dfrac{a+c}{b}+\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{a+b}{c}=\dfrac{\left(a+c\right)ac+\left(b+c\right)bc+ab\left(a+b\right)}{abc}=ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ac\left(a+c\right)\)( do abc = 1 ) 

Áp dụng BĐT Schur ta được : \(ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ac\left(a+c\right)\le a^3+b^3+c^3+3abc=\Sigma a^3+3\)   

Suy ra : \(\Sigma\dfrac{ab}{a^2+b^2}\ge3-\dfrac{1}{4}\left(\Sigma a^3+3\right)=\dfrac{9}{4}-\dfrac{1}{4}\Sigma a^3\cdot\)

Khi đó : \(\Sigma a^3+\Sigma\dfrac{ab}{a^2+b^2}\ge\dfrac{3}{4}\Sigma a^3+\dfrac{9}{4}\ge\dfrac{3}{4}.3+\dfrac{9}{4}=\dfrac{9}{2}\)

" = " <=> a = b = c = 1 

Vậy ... 

Khuya rồi còn đăng à bạn ?