Cho đa giác \(A_1A_2...A_n\left(n\ge3,n\inℕ\right)\). Đường thẳng d đi qua hai cạnh \(A_xA_y,A_iA_j\left(x,y,i,j\le n\right)\). Biết rằng d còn đi qua một cạnh khác của đa giác. Tìm \(n\)nhỏ nhất có thể.
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a) Để (d) // \(y=\sqrt{3}x\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}-\frac{2k}{k-1}=\sqrt{3}\\\frac{2}{k-1}\ne0\left(HN\right);-\frac{2k}{k-1}\ne0\Rightarrow k\ne0\end{cases}}\Rightarrow-\frac{2k}{k-1}=\sqrt{3}\Rightarrow2k=\sqrt{3}\left(1-k\right)=\sqrt{3}-\sqrt{3}k\)
\(\Rightarrow2k+\sqrt{3}k=\sqrt{3}=k\left(2+\sqrt{3}\right)\Rightarrow k=\frac{\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}\left(2-\sqrt{3}\right)}{4-3}=2\sqrt{3}-3\)( TM )
Vậy \(k=2\sqrt{3}-3\)
Hàm số của (d) là : \(y=\sqrt{3}x-2-\sqrt{3}\)
Xét (d) có :
Cho \(x=0\Rightarrow y=-2-\sqrt{3}\)
\(y=0\Rightarrow x=\frac{3+2\sqrt{3}}{3}\)
\(\Rightarrow\)(d) đi qua \(\left(0;-2-\sqrt{3}\right)\)và \(\left(\frac{3+2\sqrt{3}}{3};0\right)\)
Gọi (d) cắt Ox tại A\(\left(\frac{3+2\sqrt{3}}{3};0\right)\)và cắt Oy tại B\(\left(0;-2-\sqrt{3}\right)\)
\(\Rightarrow OA=\frac{3+2\sqrt{3}}{3};OB=|-2-\sqrt{3}|=2+\sqrt{3}\)
Vì \(a=\sqrt{3}>0\)\(\Rightarrow\)Xét \(\Delta AOB\)vuông tại O có : \(tan\alpha=\frac{OB}{OA}=\frac{2+\sqrt{3}}{\frac{3+2\sqrt{3}}{3}}=\sqrt{3}\Rightarrow\alpha=60^o\)
Vậy góc tạo bởi (d) và trục Ox là : \(60^o\)
b) Xét (d) :
Cho \(x=0\Rightarrow y=\frac{2}{k-1}\)
\(y=0\Rightarrow x=\frac{1}{k}\)
\(\Rightarrow\)(d) đi qua \(A\left(0;\frac{2}{k-1}\right)\)và \(B\left(\frac{1}{k};0\right)\)
Kẻ OH \(\perp\)AB ( \(H\in AB\))
Áp dụng htl trong \(\Delta ABO\) OH \(\perp\)AB ( \(H\in AB\)) có :
\(\frac{1}{OH^2}=\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OB^2}=k^2+|\frac{k-1}{2}|^2=k^2+\frac{|k-1|^2}{4}=\frac{4k^2+|k-1|^2}{4}=\frac{4k^2+\left(k-1\right)^2}{4}\)
\(\Rightarrow OH=\sqrt{\frac{4}{4k^2+\left(k-1\right)^2}}=\frac{2}{\sqrt{4k^2+\left(k-1\right)^2}}\)
Đến đây thì mình tèo rồi, không biết phía trên làm sai chỗ nào nữa :'
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: \(\sqrt{\frac{b+c}{a}}=\sqrt{\left(\frac{b+c}{a}\right).1}\le\frac{\frac{b+c}{a}+1}{2}=\frac{a+b+c}{2a}\)\(\Rightarrow\sqrt{\frac{a}{b+c}}\ge\frac{2a}{a+b+c}\)
Tương tự:\(\sqrt{\frac{b}{c+a}}\ge\frac{2b}{a+b+c}\); \(\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\frac{2c}{a+b+c}\)
Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên, ta được: \(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)
Đẳng thức xảy ra khi \(b+c=a,c+a=b,a+b=c\Rightarrow a+b+c=0\)
Nhưng do a, b, c > 0 (gt) nên a + b + c > 0
Vậy đẳng thức không xảy ra