cho x,y>0;x+y=1
tìm min của \(P=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right).\sqrt{1+x^2y^2}\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Không vẽ hình vì sợ duyệt.
Kẻ đường phân giác AD của \(\Delta ABC\).
Dễ thấy \(\widehat{BAD}=\widehat{CAD}=\widehat{B}=\frac{\widehat{BAC}}{2}\)
Từ đó dễ dàng chứng minh \(\Delta ABD\)cân tại D \(\Rightarrow AD=BD\)
\(\Delta CAD\)và \(\Delta CBA\)có:
\(\widehat{C}\)chung và \(\widehat{CAD}=\widehat{B}\left(=\frac{\widehat{BAC}}{2}\right)\)\(\Rightarrow\Delta CAD~\Delta CBA\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow\frac{AC}{BC}=\frac{CD}{AC}=\frac{AD}{AB}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}AC^2=BC.CD\\AB.AC=BC.AD=BC.BD\left(AD=BD\right)\end{cases}}\)
\(\Rightarrow AC^2+AB.AC=BC.CD+BC.BD\)\(=BC\left(CD+BD\right)\)\(=BC.BC\)\(=BC^2\)
Ta có đpcm.
√2 là số hữu tỉ nên suy ra : √2=ab ( a ; b ∈
) Giả sửN* ) ; ( a ; b ) = 1
⟹
b√2=a
⟹
b2.2=a2
⟹
a2 chia hết cho 2 ; mà 2
là số nguyên tố
⟹
a chia hết cho 2
⟹
a2 chia hết cho 4
⟹
b2.2 chia hết cho 4
⟹
b2 chia hết cho 2 ; mà 2 là số nguyên tố nên suy ra b chia hết cho 2
⟹
(a;b)=2 mâu thuẫn với (a;b)=1
⟹
Điều giả sử sai
⟹
√2 là số vô tỉ) Giả sử √2 là số hữu tỉ nên suy ra : √2=ab ( a ; b ∈
N* ) ; ( a ; b ) = 1
⟹
b√2=a
⟹
b2.2=a2
⟹
a2 chia hết cho 2 ; mà 2
là số nguyên tố
⟹
a chia hết cho 2
⟹
a2 chia hết cho 4
⟹
b2.2 chia hết cho 4
⟹
b2 chia hết cho 2 ; mà 2 là số nguyên tố nên suy ra b chia hết cho 2
⟹
(a;b)=2 mâu thuẫn với (a;b)=1
⟹
Điều giả sử sai
⟹
√2 là số vô tỉ
\(\frac{x+2}{x+3}-\frac{5}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}-\frac{1}{x-2}\)
\(=\frac{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}-\frac{5}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}-\frac{x+3}{\left(x-2\right)\left(x+3\right)}\)
\(=\frac{x^2-4-5-x-3}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}\)
\(=\frac{x^2-x-12}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}\)
\(=\frac{\left(x+3\right)\left(x-4\right)}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}\)
\(=\frac{x-4}{x-2}\)
\(\frac{x-2}{x-3}=\frac{x-3+1}{x-3}=1+\frac{1}{x-3}\)
\(\Rightarrow x-3\inƯ\left(1\right)=\left\{\pm1\right\}\)
x - 3 | 1 | -1 |
x | 4 | 2 |
\(-2x^2-10x-6=0\)\(\Leftrightarrow4x^2+20x+12=0\)\(\Leftrightarrow\left(4x^2+20x+25\right)-13=0\)\(\Leftrightarrow\left(2x+5\right)^2-\left(\sqrt{13}\right)^2=0\)\(\Leftrightarrow\left(2x+5+\sqrt{13}\right)\left(2x+5-\sqrt{13}\right)=0\)\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}2x+5+\sqrt{13}=0\\2x+5-\sqrt{13}=0\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{-5-\sqrt{13}}{2}\\x=\frac{-5+\sqrt{13}}{2}\end{cases}}\)
-2x-10x-6=0
<=>-12x=6
<=>x=\(\frac{6}{-12}\)
<=>x=\(\frac{-1}{2}\)
Vậy x\(\in\left\{\frac{-1}{2}\right\}\)
\(A=\frac{x^2-x}{x^2-9}-\frac{1}{x-3}+\frac{1}{x+3}\)
\(=\frac{x\left(x-1\right)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}-\frac{1}{x-3}+\frac{1}{x+3}\)
\(=\frac{x\left(x-1\right)-x-3+x-3}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\)
\(=\frac{x^2+x-6}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\)
\(=\frac{\left(x-2\right)\left(x+3\right)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\)
\(=\frac{x-2}{x-3}\)
\(A=\frac{x^2-x}{x^2-9}-\frac{1}{x-3}+\frac{1}{x+3}\)
\(A=\frac{x^2-x}{x^2-3^2}-\frac{1}{x-3}+\frac{1}{x+3}\)
\(A=\frac{x^2-x}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}-\frac{x+3}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}+\frac{x-3}{\left(x-3\right)\left(x-3\right)}\)
\(A=\frac{x^2-x-\left(x+3\right)+x-3}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\)
\(A=\frac{x^2-x-x-3+x-3}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\)
\(A=\frac{x^2-x}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\)
\(P=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right).\sqrt{1+x^2y^2}\)
\(\rightarrow P>2.\sqrt{\frac{1}{x}.\frac{1}{y}}.\sqrt{1+\left(xy\right)^2}\)
\(\rightarrow P>2.\sqrt{\frac{1}{xy}}.\sqrt{1+\left(xy\right)^2}\)
\(\rightarrow P>2\sqrt{\frac{1}{xy}+xy}\)
Đặt \(xy=t\)
\(\rightarrow P>2\sqrt{\frac{1}{t}+t}\)
Ta có :
\(1>x+y>2\sqrt{xy}\)
\(\rightarrow\sqrt{xy}< \frac{1}{2}\)
\(\rightarrow xy< \frac{1}{4}\)
\(\rightarrow t< \frac{1}{4}\)
Lại có :
\(\frac{1}{t}+t=\frac{15}{16t}+\left(\frac{1}{16}+t\right)\)
\(\rightarrow\frac{1}{t}+t>\frac{15}{16.\frac{1}{4}}+2\sqrt{\frac{1}{16}.t}\)
\(\rightarrow\frac{1}{t}+t>\frac{17}{4}\)
\(\rightarrow B>2.\sqrt{\frac{17}{4}}\)
\(\rightarrow B>\sqrt{17}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)