Cho tam giác $MNP$ vuông tại $M$. Trên $MP$ lấy điểm $E$ \(\left(E\ne M,E\ne P\right)\). Vẽ đường tròn tâm $I$ đường kính $EP$ cắt $NP$ tại điểm thứ hai là $F$. Nối $NE$ cắt đường tròn tại điểm thứ hai là $H$. $MH$ giao với đường tròn $(I)$ tại điểm $G$. Chứng minh:

a) Tứ giác $MNFE$ nội tiếp.

b) Khi $E$ chuyển động trên $MP$ thì \(\widehat{MHE}\) có số đo không đổi.

c) $MN//GF$.

Cho nửa đường tròn đường kính $BC$, bán kính $R$ và điểm $A$ nằm trên nửa đường tròn ($A$ khác $B$ và $C$). Từ $A$ hạ $AH$ vuông góc với $BC$. Trên nửa mặt phẳng bờ $BC$ chứa điểm $A$, vẽ nửa đường tròn đường kính $BH$ cắt $AB$ tại $E$, nửa đường tròn đường kính $HC$ cắt $AC$ tại $F$.

a) Tứ giác $AFHE$ là hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh $BEFC$ là tứ giác nội tiếp.

c) Xác định vị trí của điểm $A$ sao cho tứ giác $AFHE$ có diện tích lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó theo $R$.

Cho hình thang cân $ABCD$ ($AB > CD$; $AB//CD$) nội tiếp đường tròn $(O)$. Tiếp tuyến với đường tròn $(O)$ tại $A$ và $D$ cắt nhau tại $I$. Gọi $E$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$.

a) Chứng minh tứ giác $AIDE$ nội tiếp.

b) Chứng minh $AB//IE$.

c) Đường thẳng $IE$ cắt cạnh bên $AD$ và $BC$ của hình thang tương ứng tại $M$ và $N$. Chứng minh rằng:

        +  $E$ là trung điểm $MN$.

        + \(\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{CD}=\dfrac{2}{MN}\).

Cho tam giác nhọn $ABC$. Gọi $H$ là chân đường cao hạ từ $A$ xuống cạnh $BC$. Đường tròn đường kính $BC$ cắt $AB$, $AC$ lần lượt tại $D$ và $E$. Nối $H$ với $E$ cắt đường tròn đường kính $BC$ tại điểm thứ hai $F$.

a) Chứng minh rằng bốn điểm $H$, $B$, $A$, $E$ cùng nằm trên một đường tròn. Hãy xác định tâm và bán kính đường tròn ấy.

b) Chứng minh \(DF\perp BC.\)

c) Gọi $I$ là điểm đối xứng với $E$ qua $BC$. Chứng minh rằng $HD.HI = HE.HF$.

Cho tam giác $ABC$ có các góc đều nhọn và \(\widehat{A}=45^o\). Vẽ đường cao $BD$ và $CE$ của tam giác $ABC$. Gọi $H$ là giao điểm của $BD$ và $CE$.

a) Chứng minh tứ giác $ADHE$ nội tiếp.

b) Tính tỉ số \(\dfrac{DE}{BC}\).

c) Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Chứng minh \(OA\perp DE\).

Từ điểm $M$ nằm ngoài đường tròn $(O)$ vẽ hai tiếp tuyến $MA$ và $MB$ với đường tròn đó. Trên cung nhỏ $AB$ lấy điểm $C$. Vẽ \(CD\perp AB\), \(CE\perp MA\), \(CF\perp MB\). Gọi $I$ là giao điểm của $AC$ và $DE$, $K$ là giao điểm của $BC$ và $DF$. Chứng minh rằng :

a) Tứ giác $AECD$, $BFCD$ nội tiếp được.

b) $CD^2 = CE.CF$.

c) \(IK\perp CD\).

Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$. Các đường cao $AD$, $BE$, $CF$ cắt nhau tại $H$ và cắt đường tròn $(O)$ lần lượt tại $M$, $N$, $P$. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác $AEHF$ nội tiếp.

b) Bốn điểm $B$, $C$, $E$, $F$ cùng thuộc một đường tròn.

c) $AE.AC = AH.AD$ và $AD.BC = BE.AC$.

d) $H$ và $M$ đối xứng nhau qua $BC$.

e) Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác $DEF$.

Cho đường tròn $(O; R)$ tiếp xúc với đường thẳng $d$ tại $A$. Trên $d$ lấy điểm $H$ không trùng với điểm $A$ và $AH < R$. Qua $H$ kẻ đường thẳng vuông góc với $d$, đường thẳng này cắt đường tròn tại hai điểm $E$ và $B$ ($E$ nằm giữa $B$ và $H$).

a) Chứng minh \(\widehat{ABE}=\widehat{EAH}\)  và \(\Delta ABH\backsim\Delta AEH\).
b) Lấy điểm $C$ trên $d$ sao cho $H$ là trung điểm của đoạn $AC$, đường thẳng $CE$ cắt $AB$ tại $K$. Chứng minh $AHEK$ là tứ giác nội tiếp.
c) Xác định vị trí điểm $H$ để \(AB=R\sqrt{3}\).

Cho đường tròn $(O)$. Từ điểm $P$ nằm ngoài đường tròn, kẻ hai tiếp tuyến $PA$, $PB$ với $(O)$.

a/ Trên đoạn $AB$ lấy điểm $M$ (khác $A$ và $B$). Qua $M$ kẻ đường vuông góc với $OM$ cắt $PA$, $PB$ tại $C$ và $D$. Chứng minh $MC = MD$.

b/ Trên cung nhỏ $AB$ lấy điểm $I$ ($I$ khác $A$ và $B$). Gọi hình chiếu vuông góc của $I$ lên $BA$, $PB$, $PA$ theo thứ tự là $H$, $K$, $L$. Chứng minh \(\Delta HIL\sim\Delta KIH\) và $KH.IL = IH.HL$.