Tìm nghiệm nguyên của phương trình sử dụng điều kiện có nghiệm nguyên của phương trình bậc 2
(a)
(b)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Viết lại điều kiện đã cho dưới dạng
\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=6ab1+bc1+ca1+a1+b1+c1=6
Áp dụng bất đẳng thức hiển nhiên xy+yz+zx\le x^2+y^2+z^2xy+yz+zx≤x2+y2+z2 ta có
\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\le\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}ab1+bc1+ca1≤a21+b21+c21 (1)
Lại áp dụng x\le\frac{x^2+1}{2}x≤2x2+1, ta có \frac{1}{a}\le\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{a^2}\right)a1≤21(1+a21), do đó
\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)+\frac{3}{2}a1+b1+c1≤21(a21+b21+c21)+23 (2)
Cộng theo vế (1), (2) và chú ý đến điều kiện ta được
6\le\frac{3}{2}\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)+\frac{3}{2}6≤23(a21+b21+c21)+23
Suy ra 3\le\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}3≤a21+b21+c21 (đpcm)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
- Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có
\left(x.\frac{1}{2}+x.\frac{1}{2}+y.\frac{1}{2}+y.\frac{1}{2}+x.\sqrt{1-x^2}+y.\sqrt{1-x^2}\right)^2\le(x.21+x.21+y.21+y.21+x.1−x2+y.1−x2)2≤
\left(x^2+x^2+y^2+y^2+x^2+y^2\right)\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+1-x^2+1-y^2\right)(x2+x2+y2+y2+x2+y2)(41+41+41+41+1−x2+1−y2)
tức là \left(x+y+x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\right)^2\le\left(3x^2+3y^2\right)\left(3-x^2-y^2\right)(x+y+x1−y2+y1−x2)2≤(3x2+3y2)(3−x2−y2)
Suy ra x+y+x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\le\sqrt{3}.\sqrt{\left(x^2+y^2\right)\left(3-x^2-y^2\right)}x+y+x1−y2+y1−x2≤3.(x2+y2)(3−x2−y2)
\le\sqrt{3}.\frac{\left(x^2+y^2\right)+\left(3-x^2-y^2\right)}{2}≤3.2(x2+y2)+(3−x2−y2)
hay x+y+x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\le\frac{3\sqrt{3}}{2}x+y+x1−y2+y1−x2≤233 (đpcm)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel và bất đẳng thức AM-GM ta có :
\(\frac{a^5}{bc}+\frac{b^5}{ca}+\frac{c^5}{ab}=\frac{a^6}{abc}+\frac{b^6}{abc}+\frac{c^6}{abc}\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{3abc}=\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)}{3abc}\ge\frac{3abc\left(a^3+b^3+c^3\right)}{3abc}=a^3+b^3+c^3\)( đpcm )
Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{c-1}+\frac{c^2}{a-1}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c-3}\)(1)
Đặt a + b + c - 3 = x
Vì a,b,c > 1 => x > 0
=> \(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c-3}=\frac{\left(x+3\right)^2}{x}=\frac{x^2+6x+9}{x}=x+6+\frac{9}{x}\ge2\sqrt{x\cdot\frac{9}{x}}+6=12\)( AM-GM )
=> \(\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{c-1}+\frac{c^2}{a-1}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c-3}\ge12\)
=> \(\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{c-1}+\frac{c^2}{a-1}\ge12\left(đpcm\right)\)
Đẳng thức xảy ra <=> x = 3 => a=b=c=2
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{1^2}{2\cdot1}=\frac{1}{2}\left(đpcm\right)\)
Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c=1/3