Ta có: \(\frac{a+1}{b^2+1}=a+1-\frac{\left(a+1\right)b^2}{b^2+1}\ge a+1-\frac{\left(a+1\right)b^2}{2b}=a+1-\frac{ab+b}{2}\)

CMTT: \(\frac{b+1}{c^2+1}\ge b+1-\frac{bc+c}{2}\)

             \(\frac{c+1}{a^2+1}\ge c+1-\frac{ac+a}{2}\)

Cộng từng vế của các bđt ta đc:

\(VT\ge a+b+c+3-\frac{a+b+c+ab+bc+ac}{2}\)

      \(\ge a+b+c+3-\frac{a+b+c+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{2}=3\)

Bđt trên được chứng minh

Dấu = xảy ra khi nào =v

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có : 

\(\frac{x}{2}+\frac{1}{2x}\ge2\sqrt{\frac{x}{4x}}=\frac{2}{2}=1\)

\(\frac{y}{2}+\frac{2}{y}\ge2\sqrt{\frac{y2}{2y}}=2\)

Cộng theo vế 2 bất đẳng thức trên ta được :

\(\frac{x}{2}+\frac{y}{2}+\frac{1}{2x}+\frac{2}{y}\ge3\)

\(< =>2\left(\frac{x}{2}+\frac{y}{2}\right)+\frac{1}{2x}+\frac{2}{y}\ge3+\frac{x}{2}+\frac{y}{2}\)

\(< =>x+y+\frac{1}{2x}+\frac{2}{y}\ge3+\frac{x+y}{2}=3+\frac{3}{2}=\frac{9}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(< =>\hept{\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}}\)

được chưa ?

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM kết hợp giả thiết x + y ≥ 3 ta có :

\(x+y+\frac{1}{2x}+\frac{2}{y}=\left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2x}\right)+\left(\frac{1}{2}y+\frac{2}{y}\right)+\frac{1}{2}\left(x+y\right)\)

\(\ge2\sqrt{\frac{1}{2}x\cdot\frac{1}{2x}}+2\sqrt{\frac{1}{2}y\cdot\frac{2}{y}}+\frac{1}{2}\cdot3=\frac{9}{2}\left(đpcm\right)\)

Đẳng thức xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{2}x=\frac{1}{2x}\\\frac{1}{2}y=\frac{2}{y}\\x+y=3\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}}\)

a, sửa đề  \(15\sqrt{x-7}-2\sqrt{9x-63}-9\sqrt{25x-175}=\sqrt{4x-28}\)ĐK : \(x\ge7\)

\(\Leftrightarrow15\sqrt{x-7}-2\sqrt{9\left(x-7\right)}-9\sqrt{25\left(x-7\right)}=\sqrt{4\left(x-7\right)}\)

\(\Leftrightarrow15\sqrt{x-7}-6\sqrt{x-7}-45\sqrt{x-7}=2\sqrt{x-7}\)

\(\Leftrightarrow-38\sqrt{x-7}=0\Leftrightarrow\sqrt{x-7}=0\Leftrightarrow x=7\)( tmđk ) 

\(PT_1\left(dk:x\ge7\right)< =>15\sqrt{x-7}-2.\sqrt{9}.\sqrt{x-7}-9.\sqrt{25}.\sqrt{x-7}=\sqrt{4x-24}\)

\(< =>\left(15-6-45\right).\sqrt{x-7}=\sqrt{4x-24}\)

\(< =>-36\sqrt{x-7}=\sqrt{4x-24}\)

Ta thay 7 khong phai la nghiem cua pt 

Suy ra \(-36\sqrt{x-7}< 0\)Ma \(\sqrt{4x-24}>0\)

=> pt vo nghiem

Với x > 0 

\(M=\frac{2+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}:\left(\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}+\frac{2\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}}\right)\)

\(=\frac{2+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}:\left(\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}+\frac{2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}\right)\)

\(=\frac{2+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}:\left(\frac{x-1+2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}\right)=\frac{2+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}.\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}\)

\(=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}>\frac{3}{2}\Leftrightarrow\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}-\frac{3}{2}>0\)

\(\Leftrightarrow\frac{2\sqrt{x}+2-3\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}>0\Leftrightarrow\frac{2-\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}>0\)

\(\Rightarrow2-\sqrt{x}>0\)do \(2\sqrt{x}>0\)

\(\Leftrightarrow-\sqrt{x}>-2\Leftrightarrow\sqrt{x}< 2\Leftrightarrow0\le x< 4\)

Kết hợp với giả thiết vậy \(0< x< 4\)

Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp

Xét n=0 ta có 

\(3^{2^{4n+1}}+2=3^{2^1}+2=11\text{ chia hết cho 11}\)

Giả sử điều trên đúng với n=k tức là \(3^{2^{4k+1}}+2\text{ chia hết cho 11hay }3^{2^{4k+1}}\equiv9mod\left(11\right)\)

Xét n=k+1

\(3^{2^{4k+5}}=3^{2^{4k+1}\times2^4}\equiv9^{2^4}mod11\left(\text{ do }3^{2^{4k+1}}\equiv9mod11\right)\)

mà \(9^{2^4}=9^{16}=3^{32}\equiv3^2mod11=9mod11\text{ Do }3^{30}\equiv1mod11\)

Vậy \(3^{2^{4k+1}}\equiv9mod11\Rightarrow3^{2^{4k+1}}+2\text{ chia hết cho 11}\)

Vậy theo nguyên lý quy nạp, ta có điều phải chứng minh

Để chứng minh C,O,E thẳng hàng ta cần chứng minh AK,BG,CE đồng quy

Gọi giao điểm của BG và AC là F; giao điểm của CE và AB là I

Xét tam giác ABC vuông tại A :

\(AB^2=BK.BC;AC^2=CK.BC\Rightarrow\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{BK}{CK}\)

Mặt khác: EB//AC =>\(\frac{IA}{IB}=\frac{AC}{EB}\); CG//AB=> \(\frac{FC}{FA}=\frac{AB}{CG}\)

Suy ra: \(\frac{IA}{IB}.\frac{BK}{CK}.\frac{FC}{FA}=\frac{AC}{EB}.\frac{AB^2}{AC^2}.\frac{CG}{AB}=\frac{AB.CG}{EB.AC}=1\)

Theo định lí CEVA CI,BF,AK đồng quy 

Hay AK,BG,CE đồng quy (đpcm)

BG cắt AK tại O 

Nhầm :)))