Nhờ việc phát hiện ra công cụ đá và răng hóa thạch của người tối cổ ở Việt Nam giúp cho chúng ta biết được người tối cổ cũng từng xuất hiện ở Việt Nam.

1. Chứng minh rằng:

a. \(1005a+2100b⋮15,\forall a,b\inℕ\)

Ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}1005⋮3\\1005⋮5\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}2100⋮3\\2100⋮5\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}1005a⋮3\\1005a⋮5\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}2100b⋮3\\2100b⋮5\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) 

Vì \(\left(3;5\right)=1\) suy ra:

\(\left\{{}\begin{matrix}1005a⋮15\\2100b⋮15\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow1005a+2100b⋮15,\forall a,b\inℕ\)

b.

3 số tự nhiên liên tiếp có dạng:

\(a;a+1;a+2;a\inℕ\)

Tổng 3 số tự nhiên liên tiếp là: 

\(a+a+1+a+2=3a+3\\ =3\left(a+1\right)⋮3\left(đpcm\right)\)

c.

Bốn số liên tiếp có dạng:

\(a;a+1;a+2;a+3;a\inℕ\)

Tổng 4 số tự nhiên liên tiếp là:

\(a+a+1+a+2+a+3=4a+6\\ \)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4a⋮4\\6⋮̸4\end{matrix}\right.\)  \(4a+6⋮̸4\)

d.

5 số chẵn liên tiếp là:

\(2k;2k+2;2k+4;2k+6;2k+8;k\inℕ\)

Tổng 5 số chẵn liên tiếp là:

\(2k+2k+2+2k+4+2k+6+2k+8\\ =10k+20\\ =10\left(k+2\right)⋮10.đpcm\)

e.

5 số lẻ liên tiếp có dạng:

\(2k+1;2k+3;2k+5;2k+7;2k+9;k\inℕ\)

Tổng 5 số lẻ liên tiếp là:

\(2k+1+2k+3+2k+5+2k+7+2k+9\\ =10k+20+5=10\left(k+2\right)+5:10.dư.5\)

2.

Một số tự nhiên chia cho 5 có số dư có thể là 1;2;3 hoặc 4

Theo bài ra ta có 4 số tự nhiên thõa mãn bài toán có dạng:

\(5k+1;5k+2;5k+3;5k+4;k\inℕ\)

Tổng bốn số tự nhiên đã cho là:

\(5k+1+5k+2+5k+3+5k+4\\ =20k+10\\ =10\left(2k+1\right)⋮5\Rightarrowđpcm\)

Tổng chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật là:

\(192:2=96m\)

Chiều rộng tăng 8m bằng chiều dài giảm 8m do đó chiều dài hơn chiều rộng là:

\(8+8=16m\)

Chiều rộng hình chữ nhật là:

\(\dfrac{96-16}{2}=40m\)

Chiều dài hình chữ nhật là:

\(96-40=56m\)

Diện tích hình chữ nhật là:

\(40\times56=2240m^2\)

Đs....

Nhắc tới Nguyễn Khuyến người ta nhớ đến những sáng tác của ông về mùa thu. Trong đó có nhiều bài thơ viết về mùa thu bằng chữ Hán và chữ Nôm.Bài thơ “Thu vịnh” là một trong ba bài thơ Nôm nổi tiếng: Thu điếu, Thu ẩm và Thu vịnh. Chính chùm thơ về mùa thu này đã giúp Nguyễn Khuyến bước lên vị trí hàng đầu trong các nhà thơ viết về mùa thu. Những câu thơ nhẹ nhàng dễ đi vào lòng người, sẽ không ai có thể quên, khi nhắc tới thơ về mùa thu Việt Nam, Thu Điếu là một trong 3 bài thơ đặc sản của thơ văn viết về mùa thu.

Mọi cảnh vật quen thuộc hiện ra, vùng đồng chiêm trũng Bình Lục, ngập nước với ao hồ, bờ tre bao bọc-một biểu tượng quen thuộc của làng quê Việt Nam.

Được mệnh danh là một nhà thơ của làng cảnh Việt Nam,ba bài thơ về mùa thu của Nguyễn Khuyến đặc biệt là Thu điếu đã trở thành một trong những bức tranh mùa thu đặc sắc của văn học Việt Nam. Vẻ đẹp của mùa thu được thi vị hóa, trở thành một bức tranh độc đáo. Giống như mọi thứ đang diễn ra trước mắt, hình ảnh nước trong veo, mặt hồ phẳng lặng là những đặc trưng của mùa thu

Ao thu lạnh lẽo nước trong veo
Một chiếc thuyền câu bé tẻo teo
Sóng biếc theo làn hơi gợn tí
Lá vàng trước gió sẽ đưa vèo
Tầng mây lơ lửng trời xanh ngắt
Ngõ trúc quanh co khách vắng teo
Tựa gối ôm cần, lâu chẳng được
Cá đâu đớp động dưới chân bèo.

Mỗi khung cảnh mỗi nét thơ cho ta một vẻ độc đáo riêng,mỗi cảnh có một sự thể hiện riêng nhưng có một sự thật không thể phủ nhận đó chính là mỗi bài thơ thu của Nguyễn Khuyến đều mang một dáng vẻ riêng. Riêng Thu điếu, mà nhà thơ Xuân Diệu đã khẳng định là điển hình hơn cả cho mùa thu của làng cảnh Việt Nam, là bài thơ tả cảnh ngụ tình đặc sắc: Cảnh mùa thu quê hương, tình yêu thiên nhiên, yêu mùa thu đẹp gắn liền với tình yêu quê hương tha thiết. Những hình ảnh trong sáng những đường nét mang chi tiết gợi rất lớn khiến cho bài thơ càng thêm có hồn.

Mở đầu bài thơ là hình ảnh nước và con người pha trộn giữa cảnh thiên nhiên đó. Tuy không chủ động nói tới con người giữa khung cảnh mùa thu đó, nhưng với “ thuyền câu giữa làn nước ao thu” khiến chúng ta có thể liên tưởng tới khung cảnh của một người đang thư thái ngồi câu cá

Ao thu lạnh lẽo nước trong veo
Một chiếc thuyền câu bé tẻo teo

Cả ao được nhuộm bởi sắc thu và không khí của mùa thu, ao thu đó có chút lạnh lẽo không một chút gợn để chúng ta thấy được nước mùa thu nó có thể xuyên tận đáy. Cảnh sắc mùa thu có thể hiển hiện rõ nhất là màu nước và khung cảnh thiên nhiên từ đó mà lan tỏa. Bên cạnh đó cảm hứng của nhà thơ hoàn toàn đắm chìm trong cảnh sắc mùa thu, một cảnh trong và tĩnh gần như tuyệt đối, hình ảnh nước trong veo, trời xanh ngắt, khách vắng teo, giác quan của nhà thơ cực kì tinh nhậy và hết sức chăm chú thì mới nhận ra được những biểu hiện nhỏ nhặt tinh vi chỉ làm tôn thêm cho cái trong và tĩnh của một khung cảnh đầy màu sắc:

Sóng biếc theo làn hơi gợn tí
Lá vàng trước gió khẽ đưa vèo.

Mọi thứ chỉ hơi gợn không một chút biến đổi mạnh nào, màu của sóng biếc pha trộn với sắc vàng của lá vẽ nên bức tranh quê đơn sơ mà lộng lẫy. Nghệ thuật trong phần thực rất điêu luyện, lá vàng với sóng biếc, tốc độ vèo của lá bay tương ứng với mức độ tí của gợn sóng. Cách hiệp vần ở mỗi cuối câu khiến cho ta đọc lên cảm thấy không gian vừa rất tĩnh lại vừa thu hẹp lại,tâm điểm của bài thơ được nổi bật và tập trung điểm nhìn hơn.

Tầng mây lơ lửng trời xanh ngắt
Ngõ trúc quanh co khách vắng teo.

Không gian dường như được mở rộng, bức tranh thu có thêm chiều cao của bầu trời xanh ngắt với những từng mây lơ lửng trôi theo chiều gió nhẹ. Bầu trời xanh ngắt là một đặc trưng của thơ miêu tả thu của Nguyễn Khuyến. Xanh ngắt là xanh mà có chiều sâu và thăm thẳm. Xanh ngắt đã gợi ra cái sâu, cái lắng của không gian, cái nhìn vời vợi của nhà thơ, của ông lão đang câu cá. Không gian thu hẹp lại khi ông lơ đãng đưa mắt nhìn về bốn phía làng quê. Xóm thôn vắng lặng, tĩnh mịch, con đường quanh co, heo hút, không một bóng người qua lại.

Ngõ trúc quanh co khách vắng teo

Cảnh vật càng trở nên êm đềm, thoáng một nỗi buồn cô tịch, hiu hắt chìm vào không khí vắng lặng của mùa thu. Tất cả cảnh vật, từ mặt nước đến ao thu lạnh lẽo đến chiếc thuyền câu bé tí teo, từ sóng biếc đến lá vàng, từ tầng mây lơ lửng đến ngõ trúc… đều hiện lên với đường nét, màu sắc, âm thanh có chút bâng khuâng, man mác, rất gần gũi, thân thiết với mọi người Việt Nam. Những hình ảnh đó dường như đã quá quen thuộc với người dân Việt Nam mỗi khi nhớ về kỉ niệm tuổi thơ, và nó cũng gắn liền với nỗi buồn không đáy.Biết bao thời gian trôi qua trong không gian của sáng tĩnh mịch ấy, nhưng tư thế ngồi của người buông cần câu như cũng bất động trong thời gian:

Tựa gối ôm cần lâu chẳng được
Cá đâu đớp động dưới chân bèo

Tư thế của người câu cá là tư thế tựa gối ôm cần, và không có chút gì là thay đổi tư thế,như ông đang chờ đợi điều gì xảy ra rất lâu và cứt thế, bình tĩnh để nhìn thấy kết quả. Hình ảnh này cũng mang dáng dấp của những người vui thú khi về ở ẩn, sống một cuộc sống đạm bạc. Bài thơ Thu điếu này cũng thể hiện khát vọng câu thanh, câu vắng cho tâm hồn của một nha thơ có phẩm chất thanh cao.Cái âm thanh cá đớp động gợi lên sự mơ hồ xa vắng, đánh thức tỉnh.

“Thu điếu“ là một bài thơ mùa thu đặc sắc với nghệ thuật tả cảnh ngụ tình độc đáo. Cảnh sắc mùa thu quê hương được miêu tả bằng những gam màu đậm nhạt, nét vẽ xa gần tinh tế gợi cảm. Âm thanh của những sự vật cũng trở nên tinh tế dưới tài quan sát và sự nhạy bén của tác giả. Hình ảnh quen thuộc dân giã những chính là chất liệu để dệt nên những hồn thơ hay như thế

Với tình yêu thiên nhiên tha thiết, yêu cảnh sắc và những sự thay đổi của đất trời vào Thu,mọi thứ trong “ Thu điếu”là một cách thể hiện tâm hồn của ông. Ông là nhà thơ của làng cảnh Việt Nam. Ngâm Thu điếu, Thu ẩm, Thu vịnh, chúng ta thêm yêu quê hương, thêm yêu xóm thôn đồng nội, đất nước. Vẻ đẹp quê hương đất nước và tâm hồn của Nguyễn Khuyến cũng được gợi mở trên từng con chữ.