Sơn tùng MTP

Sơn Tùng mtp

\(\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\ge\frac{a^2+b^2}{2}\)

\(BDT\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\ge\frac{a^2+b^2}{2}\)

\(\Leftrightarrow4\left(a^2+b^2\right)\ge2\left(a+b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2\ge a^2+2ab+b^2\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\forall a,b\)

BĐT luôn đúng nên ta có ĐPCM

cho x > 0,y>0

chứng minh bất đẳng thức \(_{\left(x+y\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\ge4}\)

\(a^2+b^2+c^2=1\Rightarrow a^2,b^2,c^2\le1\)\(\Rightarrow a,b,c\le1\)

Ta lại có: \(a^2+b^2+c^2=a^3+b^3+c^3\)

\(\Leftrightarrow a^3-a^2+b^3-b^2+c^3-c^2=0\)

\(\Leftrightarrow a^2\left(a-1\right)+b^2\left(b-1\right)+c^2\left(c-1\right)=0\)

Mà \(a^2\left(a-1\right)+b^2\left(b-1\right)+c^2\left(c-1\right)\le0\forall a,b,c\)(vì \(a^2,b^2,c^2\le0\) và \(a,b,c\le1\))

Suy ra ta phải có: \(a^2\left(a-1\right)=b^2\left(b-1\right)=c^2\left(c-1\right)=0\)

Kết hợp gt suy ra 3 số a,b,c phải là 1 số bằng 1 và 2 số còn lại bằng 0

Vì a,b,c vai trò như nhau nên giả sử \(a=1\Rightarrow b=c=0\)

Khi đó \(A=0^{2014}+1^{2015}+1^{2016}=1+1=2\)