\(VT=\frac{2\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}\right)}{3.\left(2-1\right)}+\frac{2\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}{5\left(3-2\right)}+...+\frac{2\left(\sqrt{2006}-\sqrt{2005}\right)}{4011\left(2006-2005\right)}\)

\(VT=\frac{2\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}\right)}{3}+\frac{2\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}{5}+...+\frac{2\left(\sqrt{2006}-\sqrt{2005}\right)}{4011}\)

Nhận xét: (a-b)² \(\ge\) 0 => a² + b²  \(\ge\) 2ab

Áp dụng ta có: \(3=\left(\sqrt{2}\right)^2+\left(\sqrt{1}\right)^2\ge2.\sqrt{2}.\sqrt{1}\)

\(5=\left(\sqrt{3}\right)^2+\left(\sqrt{2}\right)^2\ge2.\sqrt{3}.\sqrt{2}\)

...

\(4011=\left(\sqrt{2006}\right)^2+\left(\sqrt{2005}\right)^2\ge2.\sqrt{2006}.\sqrt{2005}\)

=> \(VT

=> 5x² + 5xy + 5y² = 7x + 14y

=> 5x² + 5xy - 7x + 5y² - 14y = 0 

=> 5x² + (5y -7).x + (5y²  - 14y) = 0   (*)

Tính \(\Delta\) = (5y - 7)² - 4.5.(5y²  - 14y) = -75y² + 210y + 49  

Để x nguyên thì \(\Delta\) là số chính phương <=> -75y² + 210y + 49  = k² ( với k nguyên)

=> - 3. (25y² - 2.5y.7 + 49) + 196 = k²

=> -3.(5y - 7)² + 196 = k²

=> 3.(5y - 7)² + k² = 196 => 3. (5y-7)²  \(\le\) 196 => (5y - 7)²  \(\le\) 66 =>-8  \(\le\)  5y - 7 \(\le\) 8

=> -1/5  \(\le\) y \(\le\) 3

y nguyên nên y có thể bằng 0; 1;2;3

Với tưng giá trị của y ta thay vào (*) => x 

Các giá trị x; y nguyên tìm được là các giá trị thỏa mãn yêu cầu

Đúng rồi. Bắt đầu từ tháng 8, aothunchuyennghiep.vn sẽ tặng quà cho các thành viên tích cực trong tháng. Quà là áo có logo của Online Math.

In lo go của olm sao nghe đã thấy hấp dẫn rồi

Cạnh hình thoi ABCD là : 60 : 4 = 15 cm

=> tổng độ dài AM và MB là AB = 15 cm

Hiệu độ dài MB và AM là 5 cm

Độ dài cạnh MB là: (15 +5) : 2 = 10 cm

Độ dài cạnh AM là: 15 - 10 =  5 cm

a) Hình bình hành MBCN có: MB = NC = 10 cm; MN = BC = 15 cm

Chu vi hình MBCN là: MB + BC + CN + NM = 10 + 15 + 10 + 15 = 50 cm

b) Chiều cao hình thoi ABCD là: 216 : 15 = 14,4 cm

Chiều cao hình bình hành AMND bằng chiều cao hình thoi ABCD ; có đáy là AM

Diện tích hình bình hành AMND là: 14,4  x 5 = 72 cm²

1 ở hàng đơn vị: số tự nhiên có 3 chữ số, mỗi số chỉ có 1 chữ số 1 nên ta sẽ có 8 nhóm(số hàng trăm lần lượt là: 2; 3; 4; 5; ;6 ;7 ; 8; 9), mỗi nhóm có: 9 số có 1 chữ số 1 ở hàng đơn vị(ví dụ: nhóm có số 2 ở hàng trăm: 201; 221; 231; 241; 251; 261; 271; 281; 291). Nên có:

8 x 9 = 72 số.

1 ở hàng chục: cũng có 8 nhóm mỗi nhóm có 9 số: 8 x 9 = 72 số.

1 ở hàng trăm: từ 100 đễn 199: có 9 nhóm(100 đến 109; 120 đến 129; 130 đến 139 …. 190 đến 199), mỗi nhóm có 9 số. Nghĩa là có 9 x 9 = 81 số.

Vậy có tất cả: 72 + 72 + 81 = 225 số

có 225 số

tuổi mẹ là : 41 

tuổi con bé là : 11

tuổi con lớn là : 17

                    Giải:

Hiệu số tuổi giữa con lớn và con bé là:

            30 - 24 = 6 ( tuổi )

Tuổi mẹ 7 năm trước là:

            (48 - (30 + 6)) : 3 + 30 = 34 (tuổi)

Tuổi mẹ hiện nay là: 

             34 + 7 = 41( tuổi)

              Đ/s : 41 tuổi 

ab là số nguyên tố nên b có thể nhận các giá trị là 1;3;7;9

\(\frac{ab}{bc}=\frac{b}{c}\) => \(ab=b.\frac{bc}{c}=b.\left(\frac{10b+c}{c}\right)=b.\left(\frac{10b}{c}+1\right)=\frac{10b^2}{c}+b\)

+) Xét b = 1 => a1 = \(\frac{10}{c}+1\). Vì c là chữ số khác 0 nên c > 1 => 10/c < 10 => a1 < 10 + 1 = 11 => không tồn tại a

+) xét b = 3 => a3 = \(\frac{90}{c}+3\) . ta có a3 có tận cùng là 3 => 90/c có tận cùng là 0 => c = 3 hoặc 9. thử trường hợp c = 9 thỏa mãn

=> a = 1=> abc = 139

+) xét b = 7 => a7 = \(\frac{490}{c}+7\)< 98 => 490/c < 91 => c > 5 => c = 6;7;8;9  hơn nữa, 490 chia hết cho c => c = 7 = b => không thỏa mãn

+) b  = 9 => a9 = \(\frac{810}{c}+9\) < 99 => 810/c < 90 => c > 9 => không tồn tại c 

vậy có 1 số abc thỏa mãn là 139

2015 + 2016 + ...... + 2114 = (2114 + 2015) . 100 : 2 = 206450            

Ta có dãy số:

2015+2016+2017+........+2113+2114+2115

Số số hạng của dãy số trên là:2115-2015+1=101số hạng

Dãy số trên có số cặp là:101:2=50 cặp và 1 số hạng

Ta có:

(2015+2115)+(2016+2114)+...+(2064+2066)+2065

=4130x50+2065

=208565

Vậy tổng của dãy số trên là 208565

Ta thấy :   5^y luôn có tận cùng là số lẻ

Mà 124 là số chẵn

Do đó 2^x là số lẻ

\(\Rightarrow\)2^x=1

\(\Rightarrow\)x=0

Do đó : 5^y=124+1=125

\(\Rightarrow y=3\)

Vậy x=0

        y=3

+) Nhận xét: Nếu x = 0 => 2^x = 1 => 5^y = 124 + 1 = 125 = 5³ => y = 3

+) Nếu x > 0 => 2^x là số chẵn => 124 + 2^{x l} là số chẵn Mà 5^y là số lẻ => không có x; y thỏa mãn

Vậy x = 0; y = 3