cho parabol (P):\(y=-\frac{1}{2}x^2\)và đường thẳng (d): y=kx-k-2

a,Tìm k để (d) và (P) cùng đi qua gốc tọa độ (0;0)

b,chứng minh rằng (d) luôn cắt  (P) tại 2 điểm phân biệt khi k thay đổi

c,gọi x₁ ;x₂ lần lượt là hoành độ 2 giao điểm của (d) và (P). Xác định k để x₁²x₂ + x₁x₂²đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị đó

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O ; R). Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt đường thẳng BC tại M. Gọi I là trung điểm của BC.

a, Chứng minh tứ giác MAOI nội tiếp trong một đường tròn. Xác định tâm và đường kính của đường tròn này.

b, Chứng minh: MA² = MB.MC

c, Vẽ đường kính AK của đường tròn (O). Gọi H là điểm đối xứng của K qua I. Chứng minh H là trực tâm của tam giác ABC.

d, Tia AH cắt (O) tại D. Cho BI =( R √6)/3 và góc ABC – ACB = 30^o . Tính điện tích của tứ giác ABDC theo R.

Cho đường tròn (O) và đường thẳng d không giao với (O). Kẻ OH vuông góc với d tại H. Trên d lấy một điểm A và kẻ tiếp tuyến AB với (O) ( B là tiếp điểm) sao cho A và B nằm cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng OH. Gọi E là giao điểm của BH với (O). Chứng minh:
a/Tứ giác OBAH nội tiếp. Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác trên.
b/ góc BOE = 2 góc AOH
c/Đặt OA = a. Tiếp tuyến của (O) tại E cắt d tại C. Tính OC theo a.

cho đường tròn (O) và một điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Từ A kẻ 2 tiếp tuyến AC và AB với đường tròn (O) và một cát tuyến ADE không đi qua (O).Gọi H là trung điểm của DE.

a) chứng minh: 5 điểm A,B.C.H,O cùng thuộc một đường tròn

b) chứng mih HA là tia phân giác của góc BHC.

c) BC và DE cắt nhau tại I. Chứng minh: AB² =AI.AH

d) BH cắt đường tròn (O) ở K. chứng minh AE//Ck.

Nam và Hoàng vừa kết bạn với Hồng, và họ muốn biết sinh nhật của Hồng. Hồng cho họ biết 10 ngày có thể là sinh nhật Hồng:

15/1     16/1     19/1

17/2     18/2

14/3     16/3

14/4     15/4     17/4

Sau đó Hồng nói cho Nam biết ngày sinh và Hoàng biết tháng sinh của mình, sau đó hai người phát biểu

Nam nói:Mình không biết sinh nhật của Hồng là ngày nào nhưng mình biết Hoàng cũng không biết nhiều hơn.

Hoàng:Lúc đầu mình không biết sinh nhật Hồng nhưng bây giờ thì mình đã biết.

Nam: Sau đó mình cũng biết sinh nhật Hồng là ngày nào.

Vậy, sinh nhật Hồng vào ngày nào?