Trả lời

Xét tam giác OAD ta có: OE=AE; OE=FD \(\Rightarrow\)EF là ĐTB của tam giác OAD

\(\Rightarrow EF=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}BC\left(1\right)\)và EF//AD

Ta có tam giác ABCD là tâm giác cân \(\Rightarrow\widehat{OCD}\)\(=\widehat{ODC}\)=\(60^0\)(tự lập luận)

Ta có: Tam giác ODC đều có CF là đường trung tuyến đồng thời là đường cao

\(\Rightarrow CF\perp BD\)

Tam giác BFC vuông tại F có FG là đường trung tuyến

\(\Rightarrow FG=CG=BG=\frac{BC}{2}\)(Theo t/c đường trung tuyến trong \(\Delta\)vuông)(2)

Chứng minh tường tự: EG=\(\frac{BC}{2}\left(3\right)\)

\(\left(1\right)\left(2\right)\left(3\right)\Rightarrow FG=EF=EG\Rightarrow\Delta EFG\)là tam giác đều

Em cop mạng hay ghê không 1 chút sửa đổi a thánh phcuj

\(\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\)

\(=\left(1+\frac{a+b}{a}\right)\left(1+\frac{a+b}{b}\right)\)

\(=\left(1+1+\frac{b}{a}\right)\left(1+1+\frac{a}{b}\right)\)

\(=\left(2+\frac{b}{a}\right)\left(2+\frac{a}{b}\right)\)

\(=4+2\frac{a}{b}+2\frac{b}{a}+1\)

\(=5+2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\)\(\ge5+2.2=9\)

c/m:  \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\) với a,b dương

Dấu "=" xảy ra  \(\Leftrightarrow\)\(a=b\)

\(\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\)

\(=\left(1+\frac{a+b}{a}\right)\left(1+\frac{a+b}{b}\right)\)

\(=\left(1+1+\frac{b}{a}\right)\left(1+1+\frac{a}{b}\right)\)

\(=\left(2+\frac{b}{a}\right)\left(2+\frac{a}{b}\right)\)

\(=4+2\frac{b}{a}+2\frac{a}{b}+1\)

\(=4+1+2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\)

\(=5+2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\)(1)

.Ta cần chứng minh \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)

Không mất tính tổng quát, giả sử a, b \(>0\)va \(a\ge b\). \(m\ge0\). Có thể viết \(a=b+m\)

Vậy \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{b+m}{b}+\frac{b}{b+m}=1+\frac{m}{b}+\frac{b}{b+m}\ge1+\frac{m}{b+m}+\frac{b}{b+m}\)

\(=1+\frac{m+b}{b+m}=1+1=2\)

Từ đây, ta suy ra được \(\left(1\right)\ge5+2.2=9^{\left(đpcm\right)}\)

Dấu = xảy ra khi a = b (m = 0)

hình như đề hơi bị ngược:     xe đạp nhanh hơn xe máy

\(M=2x^2+5y^2-2xy+2y+2x\)

\(2M=4x^2+10y^2-4xy+4y+4x\)

\(2M=\left(4x^2-4xy+y^2\right)+9y^2+4x+4y\)

\(2M=\left[\left(2x-y\right)^2+2\left(2x-y\right)+1\right]+\left(9y^2+6y+1\right)-2\)

\(2M=\left(2x-y+1\right)^2+\left(3y+1\right)^2-2\)

Do :  \(\left(2x-y+1\right)^2\ge0\forall x;y\)

         \(\left(3y+1\right)^2\ge0\forall y\)

\(\Rightarrow2M\ge-2\)

\(\Leftrightarrow M\ge-1\)

Dấu "=" xảy ra khi :

\(\hept{\begin{cases}2x-y+1=0\\3y+1=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{-2}{3}\\y=\frac{-1}{3}\end{cases}}\)

Vậy ....

Mình chưa hiểu ở dòng thứ 3

\(Do\)\(x;y\le1\Rightarrow x\ge xy\Rightarrow x-xy\ge0\)

Tương tự cộng vào đc ... >=0

Xét \(\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow1-\left(x+y+x\right)+\left(xy+yz+zx\right)-xyz\ge0\)

\(\Leftrightarrow x+y+z-xy-yz-zx\le1-xyz\le1\)