Ta có: \(\left(x+2y\right)\left(3x+4y\right)=96\) ( x,y nguyên)

Lại có: \(3x+4y-\left(x+2y\right)=2x+2y\) ( chẵn)

=> 3x+4y , x+2y cùng chẵn hoặc cùng lẻ ( 1)

Mà (x+2y)(3x+4y)=96 chẵn 

=> 3x+4y, x+2y cùng chẵn hoặc là một chẵn 1 lẻ ( 2)

Từ (1) và (2) => 3x+4y, x+2y cùng chẵn

Ta có bảng sau: 

Vậy ...

x=4; y=1

Ta có: \(\hept{\begin{cases}\left(d_1\right):mx+\left(m-1\right)y=3m+4\\\left(d_2\right):2mx+\left(m+1\right)y=m-4\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(d_1\right):mx-3m-4=\left(1-m\right)y\\\left(d_2\right):2mx+4-m=-\left(m+1\right)y\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(d_1\right):\frac{m}{1-m}x-\frac{3m+4}{1-m}=y\\\left(d_2\right):-\frac{2m}{m+1}x+\frac{m-4}{m+1}=y\end{cases}}\) khi đó ta có:

Để (d₁) // (d₂) thì: \(\hept{\begin{cases}\frac{m}{m-1}=\frac{2m}{m+1}\\\frac{3m+4}{m-1}\ne\frac{m-4}{m+1}\end{cases}}\Rightarrow m=3\) 

Đề (d₁) cắt (d₂) thì: \(\frac{m}{m-1}\ne\frac{2m}{m+1}\Rightarrow m\ne\left\{0;3\right\}\)

Để (d₁) trùng (d₂) thì: \(\hept{\begin{cases}\frac{m}{m-1}=\frac{2m}{m+1}\\\frac{3m+4}{m-1}=\frac{m-4}{m+1}\end{cases}}\Rightarrow m=0\)

m=0,m=3

chỉnh đề bài xíu nhé 

\(\left[a.7+a.8-a.15\right]:\left[1+2+3+...+10\right]\)

\(=\left[a.\left(7+8-15\right)\right]:\left[1+2+3+...+10\right]\)

\(=\left[a.0\right]:\left[1+2+3+....+10\right]\)

\(=0:\left[1+2+3+...+10\right]\)

\(=0\)

jkjvkjkjzjksjnjsdzjds

Toạ độ giao điểm của các đường thẳng mx-2y=3 và 3x+my =4 là nghiệm của hpt \(\hept{\begin{cases}mx-2y=3\\3x+my=4\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3mx-6y=9\\3mx+m^2y=4m\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(m^2+6\right)y=4m-9\\3x+my=4\end{cases}}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=\frac{4m-9}{m^2+6}\\3x+\frac{4m^2-9m}{m^2+6}=4\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=\frac{4m-9}{m^2+6}\\3x=4-\frac{4m^2-9m}{m^2+6}\end{cases}}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=\frac{4m-9}{m^2+6}\\3x=\frac{9m+24}{m^2+6}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{3m+8}{m^2+6}\\y=\frac{4m-9}{m^2+6}\end{cases}}\)

Để giao điểm nằm trong góc phần tư IV 

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x>0\\y< 0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{3m+8}{m^2+6}>0\\\frac{4m-9}{m^2+6}< 0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}3m+8>0\\4m-9< 0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m>\frac{-8}{3}\\m< \frac{9}{4}\end{cases}}}}\)

\(\Leftrightarrow\frac{-8}{3}< m< \frac{9}{4}\)

Để \(m\inℤ\Rightarrow m\in\left\{0,\pm1,\pm2\right\}\)

5

a. ta có \(\hept{\begin{cases}\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{10}{25}=\frac{2}{5}\\BD+DC=BC=30\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}DB=\frac{60}{7}\\DC=\frac{150}{7}\end{cases}}}\)

mà \(\frac{DE}{AB}=\frac{CD}{CB}=\frac{5}{7}\Rightarrow DE=\frac{50}{7}cm\)

b.ta có \(\frac{S_{ABD}}{S_{ABC}}=\frac{BD}{BC}=\frac{2}{7}\Rightarrow S_{ABD}=\frac{120.2}{7}=\frac{240}{7}cm^2\Rightarrow S_{ACD}=S_{ABC}-S_{ABD}=\frac{600}{7}\)

mà 

\(\frac{S_{AED}}{S_{ADC}}=\frac{AE}{AC}=\frac{BD}{BC}=\frac{2}{7}\Rightarrow S_{AED}=\frac{600}{7}\frac{.2}{7}=\frac{1200}{49}cm^2\Rightarrow S_{CDE}=S_{ACD}-S_{AED}=\frac{3000}{49}\)

1. Sự ra đời của giấy viết

Thời cổ đại, trước khi phát hiện ra giấy và nghề in, tổ tiên chúng ta đã phải dùng những thanh tre, thanh gỗ ghi chép lại để truyền bá văn hóa, tri thức cho mọi người. Vào thời Tây Hán, Trung Quốc đã bắt đầu phát minh ra giấy. Vì phương pháp sản xuất còn thô sơ, giấy hồi đó vẫn chưa được dùng để viết sách.Đến thời Đông Hán, nhà phát minh Sái Luân trên cơ sở của giấy Tây Hán đã cải tiến nghề làm giấy. Ông dùng vỏ cây, dây đay, vải rách... để làm nguyên liệu sản xuất giấy. Loại giấy này trong các sách cổ gọi là "giấy Sài Hầu".

2. Nghề in ấn ra đời

Sau khi giấy được sử dụng rộng rãi, dần dần thay thế các thanh tre và các tấm vải để dùng viết sách. Nhưng thời đó vẫn chưa phát minh ra nghề in. Một cuốn sách muốn nhân bản thành nhiều cuốn khác nhau phải tốn rất nhiều công, thời gian, ảnh hưởng tới việc phổ cập, truyền bá văn hóa.Khởi nguồn của nghề in trước hết phải nói đến các con dấu và bia khắc. Con dấu là các hình và chữ khắc trên ngọc, gỗ hoặc đá, chúng xuất hiện sớm nhất vào thời Xuân thu Chiến quốc.Theo sử ký, sau khi Tần Thủy Hoàng thống nhất Trung Quốc, muốn chiến công của mình được lưu lại muôn đời, ông đã cho khắc vào bia đá ở nhiều nơi. Năm 175, theo đề nghị của nhà học giả Sái Ung, hoàng đế đã sai khắc "Ngũ Kinh" của đạo Nho vào bia đá để các học sinh viết theo. Hai trăm năm sau, có người đã phát minh ra phương pháp "vỗ" vào bia đá, tạo ra ấn phẩm đầu tiên trên thế giới. 

Phát minh in bằng bản khắc đã đưa nghề in tiến bộ thêm một bước lớn, nhưng in một cuốn sách vẫn mất quá nhiều thời gian, cần phải cải tiến. Trải qua rất nhiều cố gắng, đến đời Tống, Tất Thăng đã phát minh ra lối in chữ rời. Ông đã lấy keo đất làm thành các phôi theo cùng một quy cách. Một đầu khắc chữ ngược bỏ vào lò nung cho cứng lại, thế là thành các chữ rời (bằng sứ). 

Chữ rời được xếp thành bảng, dùng một khung ván bằng sắt, trước hết quét lên ván sắt một lớp sáp và nhựa thông, sau đó nhặt một chữ rời xếp vào trong khung. Xếp đầy một khung làm thành một bản, sau đó hơ lên lửa, sáp và nhựa thông sẽ chảy ra, người ta lại lấy mặt ván phẳng ép lên, sáp và nhựa thông đông cứng lại, chữ rời sẽ bám chặt vào ván sắt, lúc này chúng ta có thể quét mực đặt giấy, lăn ép để in. Phát minh này sau đó được cải tiến lên với các chữ rời bằng đồng, chì...Nghề in của Trung Quốc phát minh đã góp phần đẩy mạnh sự phát triển văn hóa trên toàn thế giới.

Ngày nay, nghề in càng được hoàn thiện hơn cùng với sự phát triển của khoa học hiện đại.

Giấy và nghề in được phát minh như thế nào?

* Giấy:

Vào thời Tây Hán, Trung Quốc đã bắt đầu phát minh ra giấy. Nhưng phương pháp sản xuất còn thô sơ, giấy hồi đó vẫn chưa được dùng để viết. Đến thời Đông Hán, nhà phát minh Sái Luân, vào năm 105, đã cải tiến nghề làm giấy. Ông dùng vỏ cây, vải rách… để làm nguyên liệu sản xuất giấy. Sau khi giấy được phát minh và sử dụng rộng rãi, dần dần thay thế cho các thanh tre, thanh gỗ và các tấm vải để dùng viết sách.

*Nghề in:

Một cuốn sách muốn trở thành nhiều cuốn khác phải tốn rất nhiều công sức, thời gian, ảnh hưởng đến việc phổ cập và truyền bá văn hoá. Tổ tiên ta đã tích cực tìm cách cuối cùng đã hoàn thành công trình truyền bá văn hoá - nghề in đã được phát minh. 

Khởi nguồn của nghề in, phải nói đến là các con dấu và bia khắc. Con dấu là các hình và chữ khắc trên ngọc, gỗ hoặc đá. Chúng xuất hiện sớm nhất vào thời Xuân thu Chiến quốc. Theo “Sử Ký”, sau khi Tần Thuỷ Hoàng thống nhất Trung Quốc, muốn chiến công của mình được lưu lại muôn đời, ông đã cho khắc vào bia đá ở nhiều nơi. Năm 175, theo đề nghị của nhà học giả Sái Ung, Hoàng đế đã sai khắc “Ngũ kinh” của đạo Nho vào bia đá, để các học sinh viết theo. Hai trăm năm sau, có người đã phát minh ra phương pháp “vỗ” vào bia đá, tạo ra ấn phẩm đầu tiên trên thế giới.

Việc sử dụng con dấu và đá khắc lâu dài đã tạo điều kiện cho nghề in ra đời. Tổ tiên ta khi sử dụng con dấu, vẫn phải bôi lên mặt con dấu một lớp bùn in mỏng.Từ sự gợi ý của con dấu, người ta khắc những trang sách lên tấm gỗ giống như khắc những con dấu, rồi đem in. Trải qua rất nhiều cố gắng của nhiều người, đến đời Tống, Tất Thăng đã phát minh ra lối in chữ rời. Ông đã lấy keo đất làm thành các phôi theo cùng một quy cách. Mỗi đầu khắc chữ ngược, bỏ vào lò nung cho cứng lại, thế là thành các chữ rời (bằng sứ). Chữ rời được xếp thành bảng, dùng một khung ván bằng sắt, trước hết quét lên ván sắt một lớp sáp và nhựa thông, sau đó nhặt một chữ rời xếp vào trong khung. Xếp đầy một khung làm thành một bản. Sau đó hơ lên lửa, sáp và nhựa thông sẽ chảy ra, người ta lại lấy mặt ván phẳng ép lên, sáp và nhựa thông đông cứng lại, chữ rời sẽ bám chặt vào ván sắt, lúc này chúng ta có thể quét mực đặt giấy, lăn ép để in. Phát minh này sau đó đã được cải tiến lên với các chữ rời bằng đồng, bằng chì…

Xét hiệu hai vế bất đẳng thức đã cho ta được:

\(VT-VP={\dfrac { \left( a-b \right) ^{2}{c}^{2}}{ \left( b+c \right) \left( c +a \right) \left( a+b+c \right) }}+{\dfrac { \left( b-c \right) ^{2}{a }^{2}}{ \left( a+b \right) \left( c+a \right) \left( a+b+c \right) } }+{\dfrac { \left( ac-{b}^{2} \right) ^{2}}{ \left( a+b \right) \left( b+c \right) \left( a+b+c \right) }}\geqslant 0. \)

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c.$

Cách khác. 

Quy đồng, ta cần chứng minh:

\(2\,{a}^{3}{c}^{2}+{a}^{2}{b}^{3}-3\,{a}^{2}{b}^{2}c-2\,{a}^{2}b{c}^{2} +2\,{a}^{2}{c}^{3}+a{b}^{4}-3\,a{b}^{2}{c}^{2}+{b}^{4}c+{b}^{3}{c}^{2}\geq 0\)

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:

\(3\,a{b}^{2}{c}^{2}\leq \dfrac{5}{4}{a}^{2}{c}^{3}+\dfrac{1}{2}\,a{b}^{4}+\dfrac{1}{4} \,{b}^{4}c+{b}^{3}{c}^{2},\\2\,{a}^{2}b{c}^{2}\leq {\dfrac {7\,{a}^{3}{c} ^{2}}{10}}+\dfrac{1}{5}{a}^{2}{b}^{3}+\dfrac{3}{4}{a}^{2}{c}^{3}+{\dfrac {7\,{b}^{4}c }{20}},\\3\,{a}^{2}{b}^{2}c\leq {\dfrac {13\,{a}^{3}{c}^{2}}{10}}+\dfrac{4}{5}{a }^{2}{b}^{3}+\dfrac{1}{2}a{b}^{4}+\dfrac{2}{5}{b}^{4}c \)

Xong :D

Avatar cực chất mọi người cùng set ủng hộ cuộc thi nha

Hihi....Mọi người share + yêu thích để cuộc thi được nhiều người biết đến nhaa<<3 Còn nữa, nếu mọi người muốn có thể set avt cùng BTC nhé..híhi

Cuối cùng, chúc mọi người BTVV nha::3

ý tưởng ngắn gọn như sau : áp dụng định lý

hai số x và y nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi

tồn tại hai số nguyên a và b sao cho \(ax+by=1\)

ta có 

\(1=\left(2n+3\right)-2\left(n+1\right)=2\left(3n+5\right)-3\left(2n+3\right)=\left(n+20\right)-\left(n+19\right)\)

do đó ta chứng minh được các y a,b,d. 

riêng ý c ta có 12n+3 là số lẻ, 30n+2 là số chẵn nên chúng nguyên tố cùng nhau

a) Gọi d∈ƯC(n+1;2n+3)d∈ƯC(n+1;2n+3)

⇔⎧⎨⎩n+1⋮d2n+3⋮d⇔⎧⎨⎩2n+2⋮d2n+3⋮d⇔{n+1⋮d2n+3⋮d⇔{2n+2⋮d2n+3⋮d

⇔2n+2−2n−3⋮d⇔2n+2−2n−3⋮d

⇔−1⋮d⇔−1⋮d

⇔d∈Ư(−1)⇔d∈Ư(−1)

⇔d∈{1;−1}⇔d∈{1;−1}

⇔ƯC(n+1;2n+3)={1;−1}⇔ƯC(n+1;2n+3)={1;−1}

⇔ƯCLN(n+1;2n+3)=1⇔ƯCLN(n+1;2n+3)=1

hay n+1 và 2n+3 là cặp số nguyên tố cùng nhau