Cho các số dương a,b,c thõa mãn \(a\le b\le c\) và \(a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\). Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P = a + b2019 + c2020
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
A) XÉT \(\Delta ABC\)VUÔNG TẠI
CÓ AM LÀ TRUNG TUYẾN \(\Rightarrow AM=\frac{1}{2}BC\Leftrightarrow AM=BM=CM\)
XÉT TAM GIÁC AMC CÓ AM=CM => TAM GIÁC AMC CÂN TẠI M
MÀ TRONG TAM GIÁC CÂN ĐƯỜNG CAO CŨNG LÀ TIA PHÂN GIÁC => MH LÀ PHÂN GIÁC CỦA \(\widehat{AMC}\)
\(\Rightarrow\widehat{AMH}=\widehat{HMC}\)
XÉT \(\Delta AMH\)VÀ \(\Delta CMH\)CÓ
\(AM=MC\left(CMT\right)\)
\(\widehat{AMH}=\widehat{HMC}\left(CMT\right)\)
MH LÀ CẠNH CHUNG
=>\(\Delta AMH\)=\(\Delta CMH\)(C-G-C)
=> AH= CH ( HAI CẠNH TƯƠNG ỨNG)
=> BH LÀ ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC ABC
VÌ HAI TĐƯỜNG TRUNG TUYẾN AM VÀ BH CẮT NHAU TẠI G
=> G LÀ TRỌNG TÂM CỦA TAM GIÁC ABC
B)
XÉT \(\Delta ABC\)VUÔNG TẠI A
CÓ AM LÀ TRUNG TUYẾN
\(\Rightarrow AM=\frac{1}{2}BC\left(Đ/L\right)\)P/S CHỈ ÁP DỤNG TRAM GIÁC GIÁC VUÔNG
c) Tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông, bạn lên mạng tham khảo , EZ
a) AM = MC nên tam giác AMC cân tại M nên MH là đường cao cũng là trung tuyến hay H là trung điểm của AC nên BH là trung tuyến của tam giác ABC
Mà AM cũng là trung tuyến của tam giác ABC nên G trọng tâm của tam giác ABC
Gọi số điện thoại cần tìm là \(\overline{abcdefgh}\) Theo đề bài ta có
\(\overline{abc}+\overline{defgh}=66558\) (1)
\(\overline{abcde}+\overline{fgh}=65577\) (2)
Trừ 2 vế của (1) cho (2)
\(\Rightarrow\overline{abc}+\overline{defgh}-\overline{abcde}-\overline{fgh}=981\)
\(\Rightarrow\overline{abc}+1000x\overline{de}+\overline{fgh}-100x\overline{abc}-\overline{de}-\overline{fgh}=981\)
\(\Rightarrow999x\overline{de}-99x\overline{abc}=981\Rightarrow111x\overline{de}-11x\overline{abc}=109\) (*)
\(\Rightarrow\overline{abc}=\frac{111x\overline{de}-109}{11}=\frac{110x\overline{de}-110+\overline{de}+1}{11}=10x\overline{de}-10+\frac{\overline{de}+1}{11}\) (**)
Do \(\overline{abc}\) là số nguyên nên \(\overline{de}+1⋮11\)
Từ (1) ta thấy \(\overline{abc}\ge100\Rightarrow\overline{defgh}\le66558-100=66458\)
Mặt khác \(\overline{abc}\le999\Rightarrow\overline{defgh}\ge66558-999=65559\)
\(\Rightarrow d=6\)
\(\Rightarrow\overline{de}+1⋮11\Rightarrow\overline{de}=65\) Thay vào (**) \(\Rightarrow\overline{abc}=10x65-10+\frac{65+1}{11}=646\)
Thay các giá trị của \(\overline{abc}\) và \(\overline{de}\) vào (2) \(\Rightarrow\overline{fgh}=65577-64665=912\)
\(\Rightarrow\overline{abcdefgh}=64665912\)
TH1) Với n = 6k
ta có: \(\left(n+1\right)\left(2n+1\right)=\left(6k+1\right)\left(12k+1\right)\) không chia hết cho 6
=> Loại
TH2) Với n = 6k+1
ta có: \(\left(n+1\right)\left(2n+1\right)=\left(6k+2\right)\left(12k+3\right)⋮6\)
=> \(A=\frac{\left(6k+2\right)\left(12k+3\right)}{6}=\left(3k+1\right)\left(4k+1\right)\)là số chính phương
Lại có: ( 3k + 1 ; 4k + 1 ) = ( 3k + 1 ; k ) = ( 2k + 1 ; k ) = ( k + 1 ; k ) = ( k ; 1 ) = 1
=> 3k + 1 và 4k + 1 đồng thời là 2 số chính phương
+) Với k \(\equiv\)\(1,3,5,7\)(mod 8 ) => 4k + 1 không là số cp
+) Với k \(\equiv\)2; 4; 6 ( mod 8) => 3k + 1 không là số chính phương
=> k \(\equiv\)0 ( mod 8) => k = 8h
=> Tìm h bé nhất để 24h + 1 và 32h + 1 là số chính phương(1)
+) Với h \(\equiv\)\(3,4,6\)( mod7) => 24k + 1 không là số chính phương
+) Với h \(\equiv\)1 (mod 7 ) => 32h + 1 không là số cp
=> h \(\equiv\)0; 2; 5 (mod 7 )
=> h = 7m hoặc h = 7n + 2 hoặc h = 7t + 7 ( với m;n; t nguyên dương )
Nếu m = 1 => h = 7 => 24h + 1 = 169 và 32h + 1 = 225 là hai số chính phương và h nhỏ nhất
=> n = 6k + 1 và k = 8h = 56
=> n = 337
=> A = 38025 là số chính phương
TH3) Với n = 6k + 2
ta có: \(\left(n+1\right)\left(2n+1\right)=\left(6k+3\right)\left(12k+5\right)\)không chia hết cho 6
TH4) Với n = 6k + 3
ta có: \(\left(n+1\right)\left(2n+1\right)=\left(6k+4\right)\left(12k+7\right)\)không chia hết cho 6
TH5) Với n = 6k + 4
ta có: \(\left(n+1\right)\left(2n+1\right)=\left(6k+5\right)\left(12k+9\right)\)không chia hết cho 6
TH6) Với n = 6k + 5
ta có \(\left(n+1\right)\left(2n+1\right)=\left(6k+6\right)\left(12k+11\right)⋮6\)
=> \(A=\frac{\left(6k+6\right)\left(12k+11\right)}{6}=\left(k+1\right)\left(12k+11\right)\)
mà ( k + 1; 12k + 11 ) = 1
=> k + 1 và 12k + 11 là 2 số chính phương
tuy nhiên 12k + 11 chia 12 dư 11 mà 1 số chính phương chia 12 không dư 11
=> Trường hợp này loại
Vậy n = 337
\(x\left(x-z\right)+y\left(y-z\right)=0\)\(\Leftrightarrow\)\(x^2+y^2=z\left(x+y\right)\)
\(\frac{x^3}{z^2+x^2}=x-\frac{z^2x}{z^2+x^2}\ge x-\frac{z^2x}{2zx}=x-\frac{z}{2}\)
\(\frac{y^3}{y^2+z^2}=y-\frac{yz^2}{y^2+z^2}\ge y-\frac{yz^2}{2yz}=y-\frac{z}{2}\)
\(\frac{x^2+y^2+4}{x+y}=\frac{z\left(x+y\right)+4}{x+y}=z-x-y+\frac{4}{x+y}+x+y\ge z-x-y+4\)
Cộng lại ra minP=4, dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
Bn ko biết thì đừng có đăng linh tinh nhé hoktok 😋😋😋😋😋😋😋😋😋
\(a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
\(\Rightarrow2.\left(a+b+c\right)=a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge2\sqrt{a.\frac{1}{a}}+2\sqrt{b.\frac{1}{b}}+2\sqrt{c.\frac{1}{c}}\)
\(=2+2+2=6\)
\(\Rightarrow a+b+c\ge3\)
\(P=a+b^{2019}+c^{2020}\)
\(=a+\left(b^{2019}+1.2018\right)+\left(c^{2020}+1.2019\right)-4037\)
\(\ge a+2019.\sqrt[2019]{b^{2019}.1^{2018}}+2020.\sqrt[2020]{c^{2020}.1^{2019}}-4037\)(BDT Cauchy-Schwarz)
\(=a+2019b+2020c-4037\)
Do \(a\le b\le c\)nên
\(\Rightarrow P\ge a+2019b+2020c\)
\(\ge a+\left(\frac{2017}{3}+\frac{4040}{3}\right)b+\left(\frac{2020}{3}+\frac{4040}{3}\right)c-4037\)
\(\ge a+\frac{2017}{3}a+\frac{4040}{3}b+\frac{2020}{3}a+\frac{4040}{3}c-4037\)
\(=\frac{4040}{3}.\left(a+b+c\right)-4037\)
\(\ge4040-4037=3\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)