`1)x=9(tmđk)`

`<=>sqrtx=3`

`<=>A=3/(9-3)=3/6=1/2`

`2)B=2/(sqrtx+2)+(x+4)/(x-4)(x>0,x ne 4)`

`=(2(sqrtx-2)+x+4)/(x-4)`

`=(2sqrtx-4+x+4)/(x-4)`

`=(x+2sqrtx)/(x-4)`

`=(sqrtx(sqrtx+2))/((sqrtx-2)(sqrtx+2))`

`=sqrtx/(sqrtx-2)`

`c)B/A=sqrtx/(sqrtx-2):sqrtx/(sqrtx-3)`

`=sqrtx/(sqrtx-2)*(sqrtx-3)/sqrtx`

`=(sqrtx-3)/(sqrtx-2)`

`B/A<2`

`<=>(sqrtx-3)/(sqrtx-2)-3/2<0`

`<=>(2sqrtx-6-3sqrtx+6)/(2(sqrtx-2))<0`

`<=>(-sqrtx)/(2(sqrtx-2))<0`

Vì `-sqrtx<0`

`<=>2(sqrtx-2)>0`

`<=>sqrtx-2>0`

`<=>sqrtx>2`

`<=>x>4`.

Vậy với `x>4` thì `B/A<2`

câu hình:

1) Trong (O) có BC là dây cung không đi qua O và H là trung điểm BC

\(\Rightarrow OH\bot BC\Rightarrow\angle OHA=90\Rightarrow\angle OHA+\angle OMA=90+90=180\)

\(\Rightarrow AMOH\) nội tiếp

2)Vì AM,AN là tiếp tuyến \(\Rightarrow\Delta AMN\) cân tại A và AO là phân giác \(\angle MAN\)

\(\Rightarrow AO\bot MN\) mà \(\Delta AMO\) vuông tại M \(\Rightarrow AM^2=AI.AO\) (hệ thức lượng)

3) Ta có: \(\angle OMA+\angle ONA=90+90=180\Rightarrow OMAN\) nội tiếp

mà AMOH nội tiếp \(\Rightarrow A,O,M,N,H\) cùng thuộc 1 đường tròn

\(\Rightarrow\angle CHD=\angle AHM=\angle ANM=\angle MDN\)\(\Rightarrow ND\parallel BC\)

MN cắt BC tại D.

Ta có: \(\angle OIE+\angle OHE=90+90=180\Rightarrow OIEH\) nội tiếp

Xét \(\Delta AIE\) và \(\Delta AHO:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle OAHchung\\\angle AIE=\angle AHO=90\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta AIE\sim\Delta AHO\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{AI}{AH}=\dfrac{AE}{AO}\Rightarrow AE.AH=AO.AI=AM^2\)

Xét \(\Delta AMB\) và \(\Delta ACM:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle CAMchung\\\angle AMB=\angle ACM\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta AMB\sim\Delta ACM\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AB}{AM}\Rightarrow AM^2=AB.AC\)

\(\Rightarrow AH.AE=AB.AC\Rightarrow AE=\dfrac{AB.AC}{AH}\)

mà A,B,C cố định \(\Rightarrow H\) cố định \(\Rightarrow E\) cố định \(\Rightarrow\) MN luôn đi qua điểm E cố định

câu 4:

hệ pt: \(\left\{{}\begin{matrix}2x-y=1\\x+y=2\end{matrix}\right.\)\(< =>\left\{{}\begin{matrix}2x-y=1\\2x+2y=4\end{matrix}\right.< =>\left\{{}\begin{matrix}-3y=-3\\2x-y=1\end{matrix}\right.\)

\(< =>\left\{{}\begin{matrix}y=1\\x=1\end{matrix}\right.\) vậy hệ phương trình có nghiệm (x,y)=(1;1)

b, 

gọi thời gian làm riêng của An là x(ngày)

thời gian làm riêng của Bình là y(ngày)

=>1 ngày An làm \(\dfrac{1}{x}\)(công việc)

1 ngày Bình làm \(\dfrac{1}{y}\)(công việc)

2 người làm chung mất 2 ngày

=>pt: \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{2}\left(1\right)\)

4 ngày An làm : \(\dfrac{4}{x}\)(công việc)

vì sau 4 ngày An làm việc rồi nghỉ thì Bình làm tiếp trong 1 ngày hoàn thành công việc

=>pt: \(\dfrac{4}{x}+\dfrac{1}{y}=1\left(2\right)\)

từ(1)(2)=>\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{2}\\\dfrac{4}{x}+\dfrac{1}{y}=1\end{matrix}\right.\)(\(x,y\ne0\)) Đặt \(\dfrac{1}{x}=a,\dfrac{1}{y}=b\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}a+b=0,5\\4a+b=1\end{matrix}\right.< =>\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{1}{6}\\b=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)=>\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{6}\\\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.< =>\left\{{}\begin{matrix}x=6\left(TM\right)\\y=3\left(TM\right)\end{matrix}\right.\)

vậy AN làm công việc riêng trong 6 ngày

Bình làm riêng trong 3 ngày

Câu 1.
a) `A=\sqrt49-3=\sqrt(7^2)-3=7-3=4`
b) `B=\sqrt((10-\sqrt5)^2)+\sqrt5`
`=10-\sqrt5+\sqrt5`
`=10`
Câu 2.
a) `P=(\sqrtx/(\sqrtx+2)+2/(\sqrtx-2)) : (x+4)/(\sqrtx+2)`
`= (\sqrtx(\sqrtx-2)+2(\sqrtx+2))/((\sqrtx+2)(\sqrtx-2)) . (\sqrtx-2)/(x+4)`
`=(x+4)/((\sqrtx+2)(\sqrtx-2)) . (\sqrtx+2)/(x+4)`
`=1/(\sqrtx-2)`
b) `P=1/6 <=> 1/(\sqrtx-2) = 1/6`
`<=> \sqrtx-2=6`
`<=> \sqrtx=8`
`<=> x=64`

Câu 3.

a) Đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là 3 `=> (3;0) \in y=2x+b`
`<=> 0=2.3+b <=> b=-6`
`=>y=2x-6`
b) Phương trình hoành độ giao điểm:
`x^2=(m-1)x+m+4`
`<=>x^2-(m-1)x-m-4=0` (1)
2 giao điểm của 2 đồ thị nằm về 2 phía của trục tung `<=>` PT (1) có 2 nghiệm trái dấu.
`<=> 1.(-m-4) <0`
`<=> m> -4`

Câu 1
a) `\sqrt64+\sqrt16-2\sqrt36`
`=\sqrt(8^2)+\sqrt(4^2) - 2\sqrt(6^2)`
`=8+4-12=0`
b) `y=ax+b //// y=3x => a=3`
`=> y=3x+b`
`M(1;9) \in y=3x+b <=> 9=3.1+b <=> b=6`
`=> y=3x+6`
c) `P=(1/(\sqrtx) - 2/(1+\sqrtx)) . ((x+\sqrtx)/(1-\sqrtx))`
`=(1+\sqrtx-2\sqrtx)/(\sqrtx(1+\sqrtx)) . (\sqrtx(1+\sqrtx))/(1-\sqrtx)`
`=(1-\sqrtx)/(1-\sqrtx)=1`

Câu 2.
a) Với `m=-2`, ta có PT: `x^2-2x-3=0`
Có: `a-b+c=0=> x_1=-1 ; x_2 = 3`
b) PT có 2 nghiệm phân biệt `<=> \Delta' >0`
`<=> 1^2-(m-1)>0`
`<=>m<2`
Theo hệ thức Viet: `x_1+x_2=2`
`x_1x_2=m-1`
Theo đề bài: `x_1^2+x_2^2-3x_1x_2=2m^2+|m-3|`
`<=>(x_1+x_2)^2-5x_1x_2=2m^2-m+3` (Vì `m<2<3`)
`<=> 2^2-5(m-1)=2m^2-m+3`
`<=> -2m^2-4m+6=0`
`<=>`\(\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=-3\end{matrix}\right.\)

Vậy `m=1;m=-3` thỏa mãn.

Câu 5:

`P=((a^2+2b+3)(b^2+3a+3))/((2a+1)(2b+1))`

Áp dụng BĐT cosi ta có:

`a^2+1>=2a`

`=>a^2+2b+3>=2a+2b+2`

Hoàn toàn tương tự:`b^2+2a+3>=2a+2b+2`

`=>((a^2+2b+3)(b^2+3a+3))>=(2a+2b+2)^2`

Áp dụng BĐT cosi:`(x+y)^2>=4xy`

`=>((a^2+2b+3)(b^2+3a+3))>=(2a+2b+2)^2>=4(2a+1)(2b+1)`

`=>P>=(4(2a+1)(2b+1))/((2a+1)(2b+1))`

Dấu "=" xảy ra khi `a=b=1`

tên nick hay đấy :v

Em ở Hà Nội :v

Sau thi chuyên Nguyễn Huệ :33

cô ơi cô có chuyên hóa ko ạ trường nào cũng đc ạ

cô ?? :)))

tui ko bít :)

lô,tôi không biết

Áp dụng bất đẳng thức Holder ta có:

\(\left(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+8ca}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\right)\left(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+8ca}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\right)\left(a\left(a^2+8bc\right)+b\left(b^2+8ca\right)+c\left(c^2+8ab\right)\right)\ge\left(a+b+c\right)^3\).

Do đó ta chỉ cần chứng minh \(\left(a+b+c\right)^3\ge a\left(a^2+8bc\right)+b\left(b^2+8ca\right)+c\left(c^2+8ab\right)\Leftrightarrow3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge24abc\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\). Đây là một bđt rất quen thuộc

Không Holder thì Svacxo nha :v

Áp dụng BĐT Svacxo ta có :

\(\dfrac{a^2}{a\sqrt{a^2+8bc}}+\dfrac{b^2}{b\sqrt{b^2+8ac}}+\dfrac{c^2}{c\sqrt{c^2+8ab}}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a\sqrt{a^2+8bc}+b\sqrt{b^2+8ac}+c\sqrt{c^2+8ab}}\)

Ta có sẽ đi chứng minh :

\(a\sqrt{a^2+8bc}+b\sqrt{b^2+8ac}+c\sqrt{c^2+8ab}\le\left(a+b+c\right)^2\)

Thật vậy theo Bunhiacopxki có :

\(a\sqrt{a^2+8bc}+b\sqrt{b^2+8ac}+c\sqrt{c^2+8ab}=\sqrt{a}\sqrt{a^3+8abc}+\sqrt{b}\sqrt{b^3+8abc}+\sqrt{c}\sqrt{c^3+8abc}\)

\(\le\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3+24abc\right)}\)

Ta lại đi chứng minh :

\(a^3+b^3+c^3+24abc\le\left(a+b+c\right)^3\)

\(\Leftrightarrow24abc\le3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\) ( Đây là BĐT đúng )

Do đó nhân vào ta có đpcm.

Em cảm ơn cô ạ , các đề thi thử trên hoc24.vn hay lắm ạ

ĐK: \(0\le x\le1\).

Ta có: 

với \(0\le x\le1\)thì \(0\le1-x\le1\Leftrightarrow\sqrt{1-x}\left(1-\sqrt{1-x}\right)\ge0\Leftrightarrow\sqrt{1-x}\ge1-x\)

do đó \(x+\sqrt{1-x}\ge x+1-x=1\Rightarrow\sqrt{x+\sqrt{1-x}}\ge1\).

Do đó để phương trình đã cho có nghiệm thì: 

\(\hept{\begin{cases}\sqrt{x}=0\\x+\sqrt{1-x}=1\end{cases}}\Leftrightarrow x=0\left(tm\right)\).