giải hệ phương trình
\(\hept{\begin{cases}2^x-2^y=\left(y-x\right)\left(xy+2\right)\\x^2+y^2=2\end{cases}}\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông :
\(\Delta ABC\)có :\(BA'=\frac{AB^2}{BC};CA'=\frac{AC^2}{BC}\)
\(\Delta BDA\)có :\(BF=\frac{BA'^2}{AB}=\left(\frac{AB^2}{BC}\right)^2:AB=\frac{AB^3}{BC^2}\)
\(\Delta DAC\)có :\(CE=\frac{CA'^2}{AC}=\left(\frac{AC^2}{BC}\right)^2:AC=\frac{AC^3}{BC^2}\)
\(\Rightarrow\frac{CE}{BF}=\frac{AC^3}{BC^2}:\frac{AB^3}{BC^2}=\frac{AC^3}{AB^3}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Điều kiện xác định : \(x\ne-1\)
Thêm \(-\frac{2x^2}{x+1}\) vào hai vế của phương trình đã cho được :
\(x^2-2.x.\frac{x}{x+1}+\frac{x^2}{\left(x+1\right)^2}=1-\frac{2x^2}{x+1}\)
\(\Leftrightarrow\left(x-\frac{x}{x+1}\right)^2=1-\frac{2x^2}{x+1}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x^2}{x+1}\right)^2+\frac{2x^2}{x+1}-1=0\)
Đặt \(t=\frac{x^2}{x+1}\) thì pt trên trở thành \(t^2+2t-1=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t=-1+\sqrt{2}\\t=-1-\sqrt{2}\end{cases}}\)
Tới đây bạn tự giải nhé :)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có : \(\frac{9}{4}=\left(1+a\right)\left(1+b\right)\le\frac{1}{4}\left(a+b+2\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+2\right)^2\ge9\Leftrightarrow a+b+2\ge3\Leftrightarrow a+b\ge1\)
Áp dụng BĐT Mincopxki , ta có : \(\sqrt{1+a^4}+\sqrt{1+b^4}\ge\sqrt{\left(1^2+1^2\right)^2+\left(a^2+b^2\right)^2}\ge\sqrt{4+\frac{1}{4}\left(a+b\right)^4}\ge\sqrt{\frac{17}{4}}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
Vậy minP = \(\frac{\sqrt{17}}{2}\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)
\(\left(1+a\right)\left(1+b\right)=\frac{9}{4}\)
\(\Leftrightarrow1+a+b+ab=\frac{9}{4}\Leftrightarrow a+b+ab=\frac{5}{4}\)
Áp dụng Bđt Cô si ta có: \(a^2+b^2\ge2ab\)
\(2\left(a^2+\frac{1}{4}\right)\ge2a;2\left(b^2+\frac{1}{4}\right)\ge2b\)
\(\Rightarrow3\left(a^2+b^2\right)+1\ge2\left(a+b+ab\right)=\frac{5}{2}\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)
Áp dụng Bđt Bunhiacopski ta cũng có:
\(P\ge\sqrt{\left(1+1\right)^2+\left(a^2+b^2\right)^2}\ge\sqrt{4+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{17}}{2}\)
Dấu = khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
ĐK: \(x,y\ge0\)
\(x\sqrt{x}-8\sqrt{y}=\sqrt{x}+y\sqrt{y}\Rightarrow\left(x-1\right)\sqrt{x}=\left(y+8\right)\sqrt{y}\)
\(\Rightarrow x\ge1\)
\(\Rightarrow\left(y+4\right)\sqrt{y+5}=\left(y+8\right)\sqrt{y}\Rightarrow\left(y+5\right)\left(y^2+8y+16\right)=y\left(y^2+16y+64\right)\)
\(\Rightarrow y^3+13y^2+56y+80=y^3+16y^2+64y\)
\(\Rightarrow-3y^2-8y+80=0\Rightarrow\orbr{\begin{cases}y=4\left(N\right)\\y=-\frac{20}{3}\left(l\right)\end{cases}}\)
Vậy y = 4 và x = 9.
Đặt \(a=\sqrt{x},b=\sqrt{y}\) \(a,b\ge0\) thì hệ đã cho trở thành :
\(\hept{\begin{cases}a^3-8b=a+b^3\\a^2-b^2=5\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a\left(a^2-1\right)=b\left(b^2+8\right)\\a^2-b^2=5\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a\left(b^2+4\right)=b\left(b^2+8\right)\\a^2-1=b^2+4\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{b\left(b^2+8\right)}{b^2+4}\\a^2-b^2=5\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\frac{b^2\left(b^2+8\right)^2}{\left(b^2+4\right)^2}-b^2=5\)
Lại đặt \(t=b^2,t\ge0\) thì : \(\frac{t\left(t+8\right)^2}{\left(t+4\right)^2}-t=5\Leftrightarrow t\left(t+8\right)^2-t\left(t+4\right)^2=5\left(t+4\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(t-4\right)\left(3t+20\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t=4\left(\text{nhận}\right)\\t=-\frac{20}{3}\left(\text{loại}\right)\end{cases}}\)
Với \(t=4\) thì \(b=2\) (Vì \(b\ge0\)) => \(a=3\)\(\left(a\ge0\right)\)
Vậy \(\hept{\begin{cases}a=3\\b=2\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=9\\y=4\end{cases}}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Đặt \(a=x,b=\frac{1}{x}\) thì ta có ab = 1
\(a-b=x-\frac{1}{x}=\frac{x^2-1}{x}=\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{x}\). Vì \(x>1\) nên ta có \(a-b>0\)
\(3\left(a^2-b^2\right)< 2\left(a^3-b^3\right)\)
\(\Leftrightarrow3\left(a-b\right)\left(a+b\right)< 2\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+ab+b^2\right)>\frac{3}{2}\left(a+b\right)\) (chia cả hai vế cho \(a-b>0\))
\(\Leftrightarrow\left(a^2-\frac{3}{2}a+\frac{9}{16}\right)+\left(b^2-\frac{3}{2}b+\frac{9}{16}\right)+\frac{7}{8}>0\)(vì ab = 1)
\(\Leftrightarrow\left(a-\frac{3}{4}\right)^2+\left(b-\frac{3}{4}\right)^2+\frac{7}{8}>0\) (luôn đúng)
Vậy có đpcm.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hạ sách : Nhân hết ra :)))
Ta có :
\(A=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2+\left(xy+\frac{1}{xy}\right)^2-\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(y+\frac{1}{y}\right)\left(xy+\frac{1}{xy}\right)\)
\(=x^2+\frac{1}{x^2}+2+y^2+\frac{1}{y^2}+2+x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}+2-\left(xy+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{1}{xy}\right)\left(xy+\frac{1}{xy}\right)\)
\(=x^2+y^2+\frac{1}{x^2y^2}+x^2y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+6-\left(x^2y^2+1+x^2+\frac{1}{y^2}+y^2+\frac{1}{x^2}+1+\frac{1}{x^2y^2}\right)\)
\(=6-1-1\)
\(=4\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\frac{1}{a-1}+\frac{1}{b-1}+\frac{1}{c-1}=2\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a-1}=\left(1-\frac{1}{b-1}\right)+\left(1-\frac{1}{c-1}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a-1}=\frac{b-2}{b-1}+\frac{c-2}{c-1}\)
Áp dụng BĐT Cauchy ta có : \(\frac{1}{a-1}=\frac{b-2}{b-1}+\frac{c-2}{c-1}\ge2\sqrt{\frac{b-2}{b-1}.\frac{c-2}{c-1}}\)
Tương tự : \(\frac{1}{b-1}\ge2\sqrt{\frac{a-2}{a-1}.\frac{c-2}{c-1}}\)
\(\frac{1}{c-1}\ge2\sqrt{\frac{b-2}{b-1}.\frac{a-2}{a-1}}\)
Nhân các BĐT theo vế :
\(\frac{1}{\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)}\ge\frac{8\left(a-2\right)\left(b-2\right)\left(c-2\right)}{\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)}\)
\(\Leftrightarrow8\left(a-2\right)\left(b-2\right)\left(c-2\right)\le1\Leftrightarrow\left(a-2\right)\left(b-2\right)\left(c-2\right)\le\frac{1}{8}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{5}{2}\)
Vậy maxH = 1/8 <=> a = b = c = 5/2
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\left(2\sqrt{3+\sqrt{5-\sqrt{13+\sqrt{48}}}}\right):\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\)
=\(\left(2\sqrt{3+\sqrt{5-\sqrt{13+2\sqrt{12}}}}\right):\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\)
= \(\left(2\sqrt{3+\sqrt{5-\left|\sqrt{12}+1\right|}}\right):\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\)
=\(\left(2\sqrt{3+\sqrt{5-\sqrt{12}-1}}\right):\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\)
=\(\left(2\sqrt{3+\sqrt{4-2\sqrt{3}}}\right):\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\)
= \(\left(2\sqrt{3+\left|\sqrt{3}-1\right|}\right):\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\)
= \(\left(2\sqrt{3+\sqrt{3}-1}\right):\sqrt{2}\left(\sqrt{3}+1\right)\)
= \(\left(2\sqrt{2-\sqrt{3}}\right):\sqrt{2}\left(\sqrt{3}+1\right)\)
=\(\left(2.\frac{\left|1-\sqrt{3}\right|}{\sqrt{2}}\right):\sqrt{2}\left(\sqrt{3}+1\right)\)
= \(\sqrt{2}\left(\sqrt{3}+1\right):\sqrt{2}\left(\sqrt{3}+1\right)\)
= \(1\)
Thế PT (2) vào PT (1) ta được
2x - 2y = (y - x)(xy + x2 + y2)
<=> 2x - 2y = y3 - x3
<=> 2x + x3 = 2y + y3
Xét hàm số f(a) = 2a + a3 ta có
Với a1 > a2 thì f(a1) - f(a2)
= 2a1 + a13 - 2a2 - a23 = (2a1 - 2a2) + (a1 - a2)(a12 + a1 a2 + a22) > 0
=> Hàm f(a) đồng biến trên tập xác định
Từ đó ta có: x = y
Thế vào PT(2) ta được
2x2 = 2
<=> x = (1; -1)
Vậy hệ PT có 2 cặp nghiệm là
(x, y) = (1, 1; - 1, - 1)
Giả sử \(x\ge y\) khi đó \(2^x\ge2^y\)nên \(2^x-2^y\ge0\)và \(y-x\le0\).
Xét \(2^x-2^y=\left(y-x\right)\left(xy+2\right)\)
VT = \(2^x-2^y\ge0\), VT = \(\left(y-x\right)\left(xy+2\right)=\left(y-x\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\le0\).
Như vậy để dấu bằng xảy ra thì x = y.
Các ban làm tiếp nhé !
Trường hợp \(x\le y\) xét tương tự.