Thế PT (2) vào PT (1) ta được

2^x - 2^y = (y - x)(xy + x² + y²) 

<=> 2^x - 2^y = y³ - x³

<=> 2^x + x³ = 2^y + y³

Xét hàm số f(a) = 2^a + a³ ta có

Với a₁ > a₂ thì f(a₁) - f(a₂) 

= 2^a₁ + a₁³ - 2^a₂ - a₂³ = (2^a₁ - 2^a₂) + (a₁ - a₂)(a₁² + a₁ a₂ + a₂²) > 0

=> Hàm f(a) đồng biến trên tập xác định 

Từ đó ta có: x = y

Thế vào PT(2) ta được

2x² = 2

<=> x = (1; -1)

Vậy hệ PT có 2 cặp nghiệm là 

(x, y) = (1, 1; - 1, - 1)

Giả sử \(x\ge y\) khi đó \(2^x\ge2^y\)nên \(2^x-2^y\ge0\)và \(y-x\le0\).
Xét  \(2^x-2^y=\left(y-x\right)\left(xy+2\right)\)
VT = \(2^x-2^y\ge0\), VT =  \(\left(y-x\right)\left(xy+2\right)=\left(y-x\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\le0\).
Như vậy để dấu bằng  xảy ra thì x = y.
Các ban làm tiếp nhé !
Trường hợp \(x\le y\) xét tương tự.

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông :

\(\Delta ABC\)có :\(BA'=\frac{AB^2}{BC};CA'=\frac{AC^2}{BC}\)

\(\Delta BDA\)có :\(BF=\frac{BA'^2}{AB}=\left(\frac{AB^2}{BC}\right)^2:AB=\frac{AB^3}{BC^2}\)

\(\Delta DAC\)có :\(CE=\frac{CA'^2}{AC}=\left(\frac{AC^2}{BC}\right)^2:AC=\frac{AC^3}{BC^2}\)

\(\Rightarrow\frac{CE}{BF}=\frac{AC^3}{BC^2}:\frac{AB^3}{BC^2}=\frac{AC^3}{AB^3}\)

cái này toán lớp mấy vậy bạn

Điều kiện xác định : \(x\ne-1\)

Thêm \(-\frac{2x^2}{x+1}\) vào hai vế của phương trình đã cho được : 

\(x^2-2.x.\frac{x}{x+1}+\frac{x^2}{\left(x+1\right)^2}=1-\frac{2x^2}{x+1}\)

\(\Leftrightarrow\left(x-\frac{x}{x+1}\right)^2=1-\frac{2x^2}{x+1}\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{x^2}{x+1}\right)^2+\frac{2x^2}{x+1}-1=0\)

Đặt \(t=\frac{x^2}{x+1}\) thì pt trên trở thành \(t^2+2t-1=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t=-1+\sqrt{2}\\t=-1-\sqrt{2}\end{cases}}\)

Tới đây bạn tự giải nhé :)

Ta có : \(\frac{9}{4}=\left(1+a\right)\left(1+b\right)\le\frac{1}{4}\left(a+b+2\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+2\right)^2\ge9\Leftrightarrow a+b+2\ge3\Leftrightarrow a+b\ge1\)

Áp dụng BĐT Mincopxki , ta có : \(\sqrt{1+a^4}+\sqrt{1+b^4}\ge\sqrt{\left(1^2+1^2\right)^2+\left(a^2+b^2\right)^2}\ge\sqrt{4+\frac{1}{4}\left(a+b\right)^4}\ge\sqrt{\frac{17}{4}}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)

Vậy minP = \(\frac{\sqrt{17}}{2}\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)

\(\left(1+a\right)\left(1+b\right)=\frac{9}{4}\)

\(\Leftrightarrow1+a+b+ab=\frac{9}{4}\Leftrightarrow a+b+ab=\frac{5}{4}\)

Áp dụng Bđt Cô si ta có: \(a^2+b^2\ge2ab\)

\(2\left(a^2+\frac{1}{4}\right)\ge2a;2\left(b^2+\frac{1}{4}\right)\ge2b\)

\(\Rightarrow3\left(a^2+b^2\right)+1\ge2\left(a+b+ab\right)=\frac{5}{2}\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)

Áp dụng Bđt Bunhiacopski ta cũng có:

\(P\ge\sqrt{\left(1+1\right)^2+\left(a^2+b^2\right)^2}\ge\sqrt{4+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{17}}{2}\)

Dấu = khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

ĐK: \(x,y\ge0\)

\(x\sqrt{x}-8\sqrt{y}=\sqrt{x}+y\sqrt{y}\Rightarrow\left(x-1\right)\sqrt{x}=\left(y+8\right)\sqrt{y}\)

\(\Rightarrow x\ge1\)

\(\Rightarrow\left(y+4\right)\sqrt{y+5}=\left(y+8\right)\sqrt{y}\Rightarrow\left(y+5\right)\left(y^2+8y+16\right)=y\left(y^2+16y+64\right)\)

\(\Rightarrow y^3+13y^2+56y+80=y^3+16y^2+64y\)

\(\Rightarrow-3y^2-8y+80=0\Rightarrow\orbr{\begin{cases}y=4\left(N\right)\\y=-\frac{20}{3}\left(l\right)\end{cases}}\)

Vậy y = 4 và x = 9.

Đặt \(a=\sqrt{x},b=\sqrt{y}\) \(a,b\ge0\) thì hệ đã cho trở thành : 

\(\hept{\begin{cases}a^3-8b=a+b^3\\a^2-b^2=5\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a\left(a^2-1\right)=b\left(b^2+8\right)\\a^2-b^2=5\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a\left(b^2+4\right)=b\left(b^2+8\right)\\a^2-1=b^2+4\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{b\left(b^2+8\right)}{b^2+4}\\a^2-b^2=5\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\frac{b^2\left(b^2+8\right)^2}{\left(b^2+4\right)^2}-b^2=5\)

Lại đặt \(t=b^2,t\ge0\) thì : \(\frac{t\left(t+8\right)^2}{\left(t+4\right)^2}-t=5\Leftrightarrow t\left(t+8\right)^2-t\left(t+4\right)^2=5\left(t+4\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(t-4\right)\left(3t+20\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t=4\left(\text{nhận}\right)\\t=-\frac{20}{3}\left(\text{loại}\right)\end{cases}}\)

Với \(t=4\) thì \(b=2\) (Vì \(b\ge0\)) => \(a=3\)\(\left(a\ge0\right)\)

Vậy \(\hept{\begin{cases}a=3\\b=2\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=9\\y=4\end{cases}}\)

Đặt \(a=x,b=\frac{1}{x}\) thì ta có ab = 1

\(a-b=x-\frac{1}{x}=\frac{x^2-1}{x}=\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{x}\). Vì \(x>1\) nên ta có \(a-b>0\)

\(3\left(a^2-b^2\right)< 2\left(a^3-b^3\right)\)

\(\Leftrightarrow3\left(a-b\right)\left(a+b\right)< 2\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+ab+b^2\right)>\frac{3}{2}\left(a+b\right)\) (chia cả hai vế cho \(a-b>0\))

\(\Leftrightarrow\left(a^2-\frac{3}{2}a+\frac{9}{16}\right)+\left(b^2-\frac{3}{2}b+\frac{9}{16}\right)+\frac{7}{8}>0\)(vì ab = 1)

\(\Leftrightarrow\left(a-\frac{3}{4}\right)^2+\left(b-\frac{3}{4}\right)^2+\frac{7}{8}>0\) (luôn đúng)

Vậy có đpcm.

koooooooiuyfdfguhgfswaxrwgszdsxrfdtfg

Hạ sách : Nhân hết ra :)))

Ta có :

\(A=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2+\left(xy+\frac{1}{xy}\right)^2-\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(y+\frac{1}{y}\right)\left(xy+\frac{1}{xy}\right)\)

\(=x^2+\frac{1}{x^2}+2+y^2+\frac{1}{y^2}+2+x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}+2-\left(xy+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{1}{xy}\right)\left(xy+\frac{1}{xy}\right)\)

\(=x^2+y^2+\frac{1}{x^2y^2}+x^2y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+6-\left(x^2y^2+1+x^2+\frac{1}{y^2}+y^2+\frac{1}{x^2}+1+\frac{1}{x^2y^2}\right)\)

\(=6-1-1\)

\(=4\)

4655000

52266+

533333

\(\frac{1}{a-1}+\frac{1}{b-1}+\frac{1}{c-1}=2\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a-1}=\left(1-\frac{1}{b-1}\right)+\left(1-\frac{1}{c-1}\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a-1}=\frac{b-2}{b-1}+\frac{c-2}{c-1}\)

Áp dụng BĐT Cauchy ta có : \(\frac{1}{a-1}=\frac{b-2}{b-1}+\frac{c-2}{c-1}\ge2\sqrt{\frac{b-2}{b-1}.\frac{c-2}{c-1}}\)

Tương tự : \(\frac{1}{b-1}\ge2\sqrt{\frac{a-2}{a-1}.\frac{c-2}{c-1}}\)

\(\frac{1}{c-1}\ge2\sqrt{\frac{b-2}{b-1}.\frac{a-2}{a-1}}\)

Nhân các BĐT theo vế : 

\(\frac{1}{\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)}\ge\frac{8\left(a-2\right)\left(b-2\right)\left(c-2\right)}{\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)}\)

\(\Leftrightarrow8\left(a-2\right)\left(b-2\right)\left(c-2\right)\le1\Leftrightarrow\left(a-2\right)\left(b-2\right)\left(c-2\right)\le\frac{1}{8}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{5}{2}\)

Vậy maxH = 1/8 <=> a = b = c = 5/2

????????????????????????????????????????????

bạn đăng j vậy

\(\left(2\sqrt{3+\sqrt{5-\sqrt{13+\sqrt{48}}}}\right):\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\)

=\(\left(2\sqrt{3+\sqrt{5-\sqrt{13+2\sqrt{12}}}}\right):\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\)

= \(\left(2\sqrt{3+\sqrt{5-\left|\sqrt{12}+1\right|}}\right):\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\)

=\(\left(2\sqrt{3+\sqrt{5-\sqrt{12}-1}}\right):\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\)

=\(\left(2\sqrt{3+\sqrt{4-2\sqrt{3}}}\right):\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\)

= \(\left(2\sqrt{3+\left|\sqrt{3}-1\right|}\right):\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\)

= \(\left(2\sqrt{3+\sqrt{3}-1}\right):\sqrt{2}\left(\sqrt{3}+1\right)\)

= \(\left(2\sqrt{2-\sqrt{3}}\right):\sqrt{2}\left(\sqrt{3}+1\right)\)

=\(\left(2.\frac{\left|1-\sqrt{3}\right|}{\sqrt{2}}\right):\sqrt{2}\left(\sqrt{3}+1\right)\)

= \(\sqrt{2}\left(\sqrt{3}+1\right):\sqrt{2}\left(\sqrt{3}+1\right)\)

= \(1\)