Cho 3 số thực phân biệt a,b,c.Chứng minh\(a^4\left(b-c\right)+b^4\left(c-a\right)\ne c^4\left(b-a\right)\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Gọi giao điểm của MB và EF là I; giao điểm của MF và AB là K.
Do ABCD là hình vuông nên AC là phân giác góc BAD. Vì thế hình chữ nhật AKME cũng là hình vuông. Từ đó suy ra MK = ME và KB = MF.
Vậy thì \(\Delta KMB=\Delta MEF\) (hai cạnh góc vuông)
Từ đó \(\widehat{MFE}=\widehat{KBM}.\)
Lại có \(\widehat{KMB}=\widehat{IMF}\) (đối đỉnh)
Vậy nên \(\widehat{IMF}+\widehat{MFI}=\widehat{KMB}+\widehat{KBM}=90^0\). hay \(\widehat{MIF}=90^0\Rightarrow MB\perp EF.\)
b. Ta chứng minh \(AF\perp EB.\) Thật vậy \(\Delta ADF=\Delta BAE\) (Hai cạnh góc vuông)
nên \(\widehat{DAF}=\widehat{ABE}\Rightarrow\widehat{ABE}+\widehat{BAF}=\widehat{DAF}+\widehat{BAF}=90^0\)
Vậy \(AF\perp EB.\). Tương tự \(EC\perp BF.\)
Xét tam giác EBF có BM; AF; CE trùng các đường cao nên chúng đồng quy.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Lấy C' thuộc BC sao cho P là trung điểm CC'. Tương tự lấy A' trên AD sao cho Q là trung điểm AA'.
Xét tam giác CC'D có PN là đường trung bình nên PN song song và bằng một nửa C'D (1).
Tương tự xét tam giác ABA' có MQ là đường trung bình nên MQ song song và bằng một nửa BA' (2).
Mà giả thiết lai jcho MNPQ là hình bình hành nên PN // MQ và PN = MQ (3).
Từ (1), (2), (3) ta suy ra C'D // BA' và C'D = BA'.
Vậy thì tứ giác C'BAD là hình bình hành hay C'B // DA', hay BC // AD.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a=b=c=1 suy ra Tam giác ABC là tam giác đều vì có độ dài 3 canh = nhau .
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
còn bài cuối chỉ cần bạn đặt \(n^{1994}+n^{1993}=\left(n+1\right)n^{1993}\)
mà số nguyên tố nếu mình nhớ không nhầm thì thường được biểu diễn dưới dạng là 4k+1 thì phải hay còn dạng nữa mình không nhớ lắm hay là 3k+1 gì đó nữa
lâu nay lười giải quá nhưng thôi mình giải cho bạn.
câu 1: ta gọi 2 số đó là a và b. Ta có:
\(a=x^2+y^2\)
\(b=n^2+m^2\)
=> \(ab=\left(x^2+y^2\right)\left(n^2+m^2\right)\)
bạn nhân nó ra sau đó cộng thêm 2nmxy và trừ 2nmxy rồi áp dụng hằng đẳng thức 1 và 2
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Đặt \(\sqrt{x^2-x+1}=a\left(ĐK:a>0\right)\)
\(pt\Leftrightarrow\frac{\left(x^6+3x^4a\right)\left(4-a^2\right)}{4\left(2+a\right)a^2}=a\left(2-a\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x^6+3x^4a\right)\left(4-a^2\right)=4a^3\left(4-a^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(4-a^2\right)\left(x^6+3x^4a-4a^3\right)=0\)
TH1: \(4-a^2=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=-2\left(l\right)\\a=2\left(n\right)\end{cases}}\)
Với a = 2 , \(\sqrt{x^2-x+1}=2\Rightarrow x^2-x-3=0\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{\sqrt{13}+1}{2}\\x=\frac{-\sqrt{13}+1}{2}\end{cases}}\)
TH2: \(x^6+3x^4a-4a^3=0\Rightarrow x^6-x^4a+4x^4a-4x^2a^2+4x^2a^2-4a^3=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-a\right)\left(x^4+4x^2a+4a^2\right)=0\Leftrightarrow\left(x^2-a\right)\left(x^2+2a\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x^2=a\\x^2=-2a\left(l\right)\end{cases}}\)
Với \(x^2=a\Rightarrow x^2=\sqrt{x^2-x+1}\)
Đến đây bình phương và tìm ra nghiệm.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
ĐK: \(\hept{\begin{cases}x^3+2x+4\ge0\\x^3-2x+4\ge0\end{cases}}\)
Đặt: \(\hept{\begin{cases}a=\sqrt{x^3+2x+4}\left(a\ge0\right)\\b=\sqrt{x^3-2x+4}\left(b\ge0\right)\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2=x^3+2x+4\\b^2=x^3-2x+4\end{cases}}\Rightarrow a^2-b^2=4x\Rightarrow x=\frac{a^2-b^2}{4}}\)
\(pt\Leftrightarrow\left[1+\left(\frac{a^2-b^2}{4}\right)\right]a+\left[1-\left(\frac{a^2-b^2}{4}\right)\right]b=4\)
\(\Leftrightarrow\left(4+a^2-b^2\right)a+\left(4-a^2+b^2\right)b=16\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3-ab^2-a^2b+4\left(a+b\right)=16\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)-ab\left(a+b\right)+4\left(a+b\right)=16\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-2ab+b^2\right)+4\left(a+b\right)=16\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2+4\left(a+b\right)=16\) (1)
Từ pt, ta có: \(\left(1+x\right)a-\left(1-x\right)b=4\)
\(\Leftrightarrow a+b+\left(a-b\right)x=4\) (2)
Thay (1) và (2) vào, ta có:
\(\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2+4\left(a+b\right)=4\left[a+b+\left(a-b\right)x\right]\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2=4\left(a-b\right)x\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left[\left(a+b\right)\left(a-b\right)-4x\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2-b^2-4x\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=b\\a^2-b^2=4x\end{cases}}\)
Với \(a=b\) , ta có: \(\sqrt{x^3+2x+4}=\sqrt{x^3-2x+4}\Leftrightarrow x=0\left(TM\right)\)
Với \(a^2-b^2=4x\) , ta có: \(x^3+2x+4-\left(x^3-2x+4\right)=4x\)
\(\Leftrightarrow4x=0\)
\(\Rightarrow x=0\)
Vậy:.........
Giả sử: \(a^4\left(b-c\right)+b^4\left(c-a\right)=c^4\left(b-a\right)\)
\(\Leftrightarrow a^4\left(b-a+a-c\right)+b^4\left(c-a\right)-c^4\left(b-a\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a^4\left(b-a\right)+a^4\left(a-c\right)+b^4\left(c-a\right)-c^4\left(b-a\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(b-a\right)\left(a^4-c^4\right)+\left(a-c\right)\left(a^4-b^4\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(b-a\right)\left(a-c\right)\left(a+c\right)\left(a^2+c^2\right)+\left(a-c\right)\left(a-b\right)\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(b-a\right)\left(c-a\right)\left\{\left(a+c\right)\left(a^2+c^2\right)-\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)\right\}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+c\right)\left(a^2+c^2\right)-\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)=0\)( do a, b, c phân biệt).
\(\Leftrightarrow ac^2+a^2c+c^3-ab^2-a^2b-b^3=0\)
\(\Leftrightarrow a^2\left(c-b\right)+a\left(c^2-b^2\right)+\left(c^3-b^3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(c-b\right)\left(a^2+a\left(b+c\right)+b^2+bc+c^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(c-b\right)\left(a^2+2.a\frac{b+c}{2}+\frac{b^2+2bc+c^2}{4}+\frac{3b^2+2bc+3c^2}{4}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(c-b\right)\left(\left(a+\frac{b+c}{2}\right)^2+\frac{2b^2+3bc+2c^2}{4}\right)=0\)(*).
Do \(\left(a+\frac{b+c}{2}\right)^2\ge0,\frac{2b^2+3bc+2c^2}{4}>0\).
Nên (*) không thể xảy ra. Vậy điều giả sử sai, ta có đpcm.
Đặt A = a4(b - c) + b4(c - a) + c4(a - b) = a4(b - a + a - c) + b4(c - a) + c4(a - b) = a4(b - a) + a4(a - c) + b4(c - a) + c4(a - b)
= (a - b)(c4 - a4) + (a - c)(a4 - b4) = (a - b)(c - a)(c + a)(c2 + a2) + (a - c)(a - b)(a + b)(a2 + b2)
= (a - b)(a - c)[(a + b)(a2 + b2) - (c + a)(c2 + a2)] = (a - b)(a - c)(a3 + ab2 + a2b + b3 - c3 - a2c - ac2 - a3)
= (a - b)(a - c)[a2(b - c) + a(b2 - c2) + (b3 - c3)] = (a - b)(a - c)(b - c)[a2 + a(b + c) + b2 + bc + c2]
= (a - b)(a - c)(b - c)\(\frac{a^2+2ab+b^2+a^2+2ac+c^2+b^2+2bc+c^2}{2}\)
=\(\frac{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)\left[\left(a+b\right)^2+\left(a+c\right)^2+\left(b+c\right)^2\right]}{2}\)
Vì a,b,c là 3 số phân biệt nên A khác 0 <=> a4(b - c) + b4(c - a)\(\ne-c^4\left(a-b\right)=c^4\left(b-a\right)\)