Chứng minh rằng:
\(x^5+y^5\ge x^4y+xy^4\) với \(x,y\ne0\)và \(x+y\ge0\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NM
1
TN
12 tháng 6 2017
tìm trc khi hỏi Câu hỏi của Nguyễn Thúy Hường - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
4 tháng 2 2017
Em mới lớp 7 nên chỉ biết giải bài 2 thôi
\(\frac{a+b-c}{c}=\frac{a+c-b}{b}=\frac{c+b-a}{a}\)
\(\Rightarrow\frac{a+b-c}{c}+2=\frac{a+c-b}{b}+2=\frac{c+b-a}{a}+2\)
\(=\frac{a+b}{c}-1+2=\frac{a+c}{b}-1+2=\frac{c+b}{a}-1+2\)
\(=\frac{a+b}{c}+1=\frac{a+c}{b}+1=\frac{c+b}{a}+1\)
\(=\frac{a+b+c}{c}=\frac{a+b+c}{b}=\frac{a+b+c}{a}\)
\(\Rightarrow a=b=c\) Thao vào P ta được :
\(P=\frac{\left(a+a\right)\left(a+a\right)\left(a+a\right)}{a^3}=\frac{2a.2a.2a}{a^3}=\frac{8a^3}{a^3}=8\)
4 tháng 2 2017
1
xét hiệu \(x^5+y^5-x^4y-xy^4=x^4\left(x-y\right)-y^4\left(x-y\right)\)
\(=\left(x^4-y^4\right)\left(x-y\right)=\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)\left(x-y\right)^2\)
tự lập luộn nha \(\Rightarrow x^5+y^5-x^4y-xy^4\ge0\)
\(\Rightarrow x^5+y^5\ge x^4y+xy^4\)
LC
30 tháng 4 2016
Đề thế này phải ko bạn:
Chứng minh rằng: \(x^5+y^5\ge x^4.y+x.y^4\)với \(x,y\ne0\)và\(x+y\ge0\)
4 tháng 1 2018
+ xét hiệu
x^5 + y^5 - (x^4.y + x.y^4)
= x^5 - x^4.y + y^5 - x.y^4
= x^4.(x - y) + y^4.(y - x)
= (x^4 - y^4).(x - y)
= (x + y)(x - y)^2.(x^2 + y^2) >= 0
-> ĐCPCM
SG
2
30 tháng 3 2017
\(x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\forall x,y\ge0\left(1\right)\)
*) Xét \(x=y=0\) thì \(\left(1\right)\) luôn đúng
*) Xét \(x,y>0\) ta có: \(VT=x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow x^2-xy+y^2\ge2xy-xy=xy\)
\(\Rightarrow VT=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\ge xy\left(x+y\right)\left(2\right)\)
Lại có: \(VP=x^2y+xy^2=xy\left(x+y\right)\left(3\right)\)
Từ \(\left(2\right)\) và \(\left(3\right)\) suy ra BĐT được chứng minh
Vậy \(x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\forall x,y\ge0\)
30 tháng 3 2017
x3+y3\(\geq\) x2y + xy2, \(\forall\)x\(\geq\)0,\(\forall\)y\(\geq\)0
Xét x=0,y=0 thì bất đẳng thức này luôn đúng.(*)
Xét x>0,y>0,ta có CM bất đẳng thức đó luôn đúng
x3+y3\(\geq\) x2y+xy2
\(\Leftrightarrow\) x3+y3-x2y-xy2\(\geq\)0
\(\Leftrightarrow\) (x3-x2y) + (y3-xy2) \(\geq\)0
\(\Leftrightarrow\) x2(x-y) - y2(x-y) \(\geq\) 0
\(\Leftrightarrow\) (x-y)(x2-y2) \(\geq\) 0
\(\Leftrightarrow\) (x-y)(x-y)(x+y) \(\geq\) 0
\(\Leftrightarrow\) (x-y)2(x+y) \(\geq\) 0 (1)
Ta có (x-y)2\(\geq\)0, x+y >0(vì x>0,y>0)
Nên bất phương trình (1); (x-y)2(x+y) \(\geq\) 0(luôn đúng)(**)
Từ(*) và (**) suy ra BĐT được chứng minh:
x3+y3\(\geq\) x2y+xy2, \(\forall\)x\(\geq\)0,\(\forall\)y\(\geq\)0
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x=y.
NH
1
13 tháng 10 2017
sai đề phải ko nhỉ,\(2\sqrt{x}+\sqrt{y}=1\) thì áp dụng Bunhiacopkxi,còn trừ thì mình chịu.
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
\(\left(2.\sqrt{x}+1.\sqrt{y}\right)^2\le\left(2^2+1^2\right)\left(x+y\right)\)
<=> \(5\left(x+y\right)\ge1\Leftrightarrow x+y\ge\dfrac{1}{5}\)
Dấu ''='' xảy ra <=> x=4/25 và y=1/25
13 tháng 6 2021
Với mọi số thực ta luôn có:
`(x-y)^2>=0`
`<=>x^2-2xy+y^2>=0`
`<=>x^2+y^2>=2xy`
`<=>(x+y)^2>=4xy`
`<=>(x+y)^2>=16`
`<=>x+y>=4(đpcm)`
TQ
13 tháng 6 2021
\(\dfrac{1}{x+3}+\dfrac{1}{y+3}=\dfrac{x+3+y+3}{\left(x+3\right)\left(y+3\right)}\)
\(=\dfrac{x+y+6}{3x+3y+13}\)(vì \(xy=4\))
=> \(\dfrac{x+y+6}{3x+3y+13}\)≤\(\dfrac{2}{5}\)
<=> \(5\left(x+y+6\right)\)≤\(2\left(3x+3y+13\right)\)
<=>\(6x+6y+26-5x-5y-30\)≥\(0\)
<=> \(x+y-4\)≥\(0\)
Áp dụng BĐT AM-GM \(\dfrac{a+b}{2}\)≥\(\sqrt{ab}\)
Ta có \(\dfrac{x+y}{2}\)≥\(\sqrt{xy}\)
<=>\(x+y\) ≥ 2\(\sqrt{xy}\)
=>2\(\sqrt{xy}-4\)≥\(0\)
<=> \(4-4\)≥0
<=>0≥0 ( Luôn đúng )
Vậy \(\dfrac{1}{x+3}+\dfrac{1}{y+3}\)≤\(\dfrac{2}{5}\)
x^5+y^5 >= x^4y+xy^4
<=>x^5+y^5-x^4y-xy^4 >= 0
<=>x^4(x-y)-y^4(x-y) >= 0
<=>(x-y)(x^4-y^4) >= 0
<=>(x-y)(x^2-y^2)(x^2+y^2) >= 0
<=>(x-y)^2(x+y)(x^2+y^2) >= 0 (luôn đúng do x+y >= 0)
Vậy bđt đầu là đúng