x,y dương ,x+y=1 tìm GTNN của (x+1/x)^2 +(y+1/y)^2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NQ
0
UP
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
16 tháng 2 2022
\(\left(x-y\right)^2\ge0;\forall xy\Rightarrow x^2+y^2\ge2xy\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\Rightarrow x+y\ge2\sqrt{xy}\)
\(\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\ge\dfrac{2}{xy}\Rightarrow xy\ge4\Rightarrow x+y\ge2\sqrt{xy}\ge2\sqrt{4}=4\)
\(C_{min}=4\) khi \(x=y=2\)
Hoặc là:
\(\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\ge\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\ge\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{4}{x+y}\right)^2=\dfrac{8}{\left(x+y\right)^2}\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2\ge16\Rightarrow x+y\ge4\)
MD
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
16 tháng 4 2022
\(P=\left(2x+\dfrac{1}{x}\right)^2+9+\left(2y+\dfrac{1}{y}\right)^2+9-18\)
\(P\ge2\sqrt{9\left(2x+\dfrac{1}{x}\right)^2}+2\sqrt{9\left(2y+\dfrac{1}{y}\right)^2}-18\)
\(P\ge12x+12y+\dfrac{6}{x}+\dfrac{6}{y}-18\)
\(P\ge6\left(4x+\dfrac{1}{x}\right)+6\left(4y+\dfrac{1}{y}\right)-12\left(x+y\right)-18\)
\(P\ge6.2\sqrt{\dfrac{4x}{x}}+6.2\sqrt{\dfrac{4y}{y}}-12.1-18=18\)
\(P_{min}=18\) khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)
NR
2
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 2 2021
\(P=\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{1}{x^2+y^2}\ge\dfrac{1}{\dfrac{2.\left(x+y\right)^2}{4}}+\dfrac{4}{2xy+x^2+y^2}=\dfrac{6}{\left(x+y\right)^2}=6\)
\(P_{min}=6\) khi \(a=b=\dfrac{1}{2}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
22 tháng 2 2021
Cách khác:
Đặt $xy=t$. Bằng $AM-GM$ dễ thấy $t\leq \frac{1}{4}$
\(P=\frac{1}{xy}+\frac{1}{(x+y)^2-2xy}=\frac{1}{xy}+\frac{1}{1-2xy}=\frac{1}{t}+\frac{1}{1-2t}\)
\(=\frac{1}{t}-4+\frac{1}{1-2t}-2+6=\frac{(1-4t)(1-3t)}{t(1-2t)}+6\geq 6\) với mọi $t\leq \frac{1}{4}$
Vậy $P_{\min}=6$ khi $x=y=\frac{1}{2}$
TN
30 tháng 6 2017
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(A=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\)
\(\ge\frac{\left(x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\ge\frac{\left(x+y+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}\)
\(=\frac{\left(1+4\right)^2}{2}=\frac{5^2}{2}=\frac{25}{2}\)
Xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
UP
Cho x,y là các số dương thỏa mãn \(\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{y^2}=\dfrac{1}{2}\)
Tìm GTNN của C = x+y
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
16 tháng 2 2022
Đề bài sai, C không có giá trị nhỏ nhất
Nếu \(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}=\dfrac{1}{2}\) thì có thể tìm được min của C
DK
1
HP
30 tháng 1 2017
cần lưu ý 2 bđt sau :(a,b>0) 1/a + 1/b >= 4/(a+b) , (a+b)2 >= 4ab (dâu1 "=" khi a=b)
có x+y=1 =>(x+y)2=1=>x2+y2=1-2xy
A=1/1-2xy + 1/2xy + 1/2xy >= 4/1-2xy+2xy + 2/4xy >= 4+2/(x+y)2 >= 6
Dấu "=" khi x=y=1/2
29 tháng 9 2023
Ta có \(B\ge\dfrac{\left(x+\dfrac{1}{x}+y+\dfrac{1}{y}\right)^2}{2}\) \(=\dfrac{\left(1+\dfrac{1}{xy}\right)^2}{2}\)
Lại có \(xy\le\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}=\dfrac{1}{4}\)
\(\Rightarrow B\ge\dfrac{\left(1+4\right)^2}{2}=\dfrac{25}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)
Vậy GTNN của B là \(\dfrac{25}{2}\) khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)
Áp dụng Bất Đẳng Thức Trung Bình Cộng Và Trung Bình Nhân,ta có:
A=\(\left(\frac{x+1}{x}\right)^2+\left(\frac{y+1}{y}\right)^2\ge\frac{\left(x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x+1}{x}\right)^2+\left(\frac{y+1}{x}\right)^2\ge\frac{\left(x+y+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}\)
Thay x+y=1 vào biểu thức \(\frac{\left(x+y+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}\)Ta được:
\(\frac{\left(1+4\right)^2}{2}=\frac{25}{2}\)
Vậy GTNN của A=\(\left(\frac{x+1}{x}\right)^2+\left(\frac{y+1}{y}\right)^2\)là \(\frac{25}{2}\)