Cho phân số a/b chứng minh rằng a/b+b/a>2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HH
1
22 tháng 6 2021
Để \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\)
<=> \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}-2\ge0\)
<=> \(\dfrac{a^2-2ab+b^2}{ab}\ge0\)
<=> \(\dfrac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge0\)
Mà \(\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\dfrac{a}{b}>0\) <=> ab > 0
=> đpcm
Dấu "=" xảy ra <=> a = b
28 tháng 9 2019
a. ĐK: a, b, c khác 0.
\(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}+\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+\frac{c^2+a^2-b^2}{2ac}=1\)
\(\Leftrightarrow\left[\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}-1\right]+\left[\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2-c^2}{2ab}+\frac{1}{2c}\left[\frac{c^2-\left(a^2-b^2\right)}{b}+\frac{c^2+\left(a^2-b^2\right)}{a}\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2-c^2}{2ab}+\frac{1}{2c}\left[\frac{c^2\left(a+b\right)-\left(a^2-b^2\right)\left(a-b\right)}{ab}\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2-c^2}{2ab}+\frac{\left(a+b\right)\left(c^2-\left(a-b\right)^2\right)}{2abc}=0\)
\(\Leftrightarrow\left[\left(a-b\right)^2-c^2\right]\left(1-\frac{a+b}{c}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b-c\right)\left(a-b+c\right)\left(c-a-b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a=b+c\)hoặc \(b=a+c\)hoặc \(c=a+b\).
b) Không mất tính tổng quả. G/s: a = b + c
Khi đó ta có:
\(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{\left(b+c\right)^2+b^2-c^2}{2\left(b+c\right)b}=1\)
\(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{b^2+c^2-\left(b+c\right)^2}{2bc}=-1\)
\(\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}=\frac{c^2+\left(b+c\right)^2-b^2}{2\left(b+c\right)c}=1\)
=> Điều phải chứng minh.
PK
1
GA
2
DL
0
BB
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 11 2023
Lời giải:
$a^4-4a=b^4-4b$
$\Leftrightarrow (a^4-b^4)-(4a-4b)=0$
$\Leftrightarrow (a-b)(a+b)(a^2+b^2)-4(a-b)=0$
$\Leftrightarrow (a-b)[(a+b)(a^2+b^2)-4]=0$
$\Rightarrow (a+b)(a^2+b^2)-4=0$ (do $a-b\neq 0$ với mọi $a,b$ phân biệt)
$\Rightarrow (a+b)(a^2+b^2)=4>0$
Mà $a^2+b^2>0$ với mọi $a,b$ phân biệt nên $a+b>0$
Mặt khác:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$4=(a+b)(a^2+b^2)\geq (a+b).\frac{(a+b)^2}{2}$
$\Rightarrow 8> (a+b)^3$
$\Rightarrow 2> a+b$
Vậy $0< a+b< 2$
Ta có đpcm.
DT
2
7 tháng 4 2017
Thiếu đề thì phải
Nhìn đề hình như là zầy phải k
\(\frac{a}{b}>0\)chứng minh \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge\)số nào đó
Sửa để đi
7 tháng 4 2017
ta có: \(\frac{a}{b}>0\Rightarrow\frac{b}{a}>0\Rightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\)>_ 0
ĐK: a,b khác 0 ; a,b là số tự nhiên
không mất t/c tổng quát , giả sử \(a\ge b\) và a= b+k
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\)\(\frac{b+k}{b}+\frac{b}{b+k}=1+\frac{k}{b}+1+\frac{1}{b+k}=2+\frac{k}{b}+\frac{1}{b+k}\ge2\)
vậy.....