K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

24 tháng 12 2020

nhờ mn giúp mk bài này vs ạ

mk đang cần gấp !

cảm ơn mn nhiều

NV
25 tháng 12 2020

Đặt \(\left(\sqrt[3]{x};\sqrt[3]{y};\sqrt[3]{z}\right)=\left(a;b;c\right)\) \(\Rightarrow a^6+b^6+c^6=3\)

\(a^6+a^6+a^6+a^6+a^6+1\ge6a^5\)

Tương tự: \(5b^6+1\ge6b^5\) ; \(5c^6+1\ge6c^5\)

Cộng vế với vế: \(18=5\left(a^6+b^6+c^6\right)+3\ge6\left(a^5+b^5+c^5\right)\)

\(\Rightarrow3\ge a^5+b^6+b^5\)

BĐT cần chứng minh: \(\dfrac{a^3}{bc}+\dfrac{b^3}{ca}+\dfrac{c^3}{ab}\ge a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3\) 

Ta có:

\(\dfrac{a^3}{bc}+\dfrac{b^3}{ca}+\dfrac{c^3}{ab}\ge\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}\ge a+b+c\) (1)

Mà \(3\left(a+b+c\right)\ge\left(a^5+b^5+c^5\right)\left(a+b+c\right)\ge\left(a^3+b^3+c^3\right)^2\ge3\left(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3\right)\)

\(\Rightarrow a+b+c\ge a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3\) (2)

Từ (1);(2) \(\Rightarrow\) đpcm

AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 4 2023

Lời giải:

Từ điều kiện đề bài suy ra:
$\frac{x}{y}=\frac{y}{z}=\frac{z}{x}$

$\Rightarrow (\frac{x}{y})^3=(\frac{y}{z})^3=(\frac{z}{x})^3=\frac{x}{y}.\frac{y}{z}.\frac{z}{x}=1$
$\Rightarrow \frac{x}{y}=\frac{y}{z}=\frac{z}{x}=1$

$\Rightarrow x=y=z$.

Do đó:

$\frac{(x+y+z)^{2022}}{x^{337}.y^{674}.z^{1011}}=\frac{(3x)^{2022}}{x^{337}.x^{674}.x^{1011}}=\frac{3^{2022}.x^{2022}}{x^{2022}}=3^{2022}$

AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 4 2023

Lời giải:

Từ điều kiện đề bài suy ra:
$\frac{x}{y}=\frac{y}{z}=\frac{z}{x}$

$\Rightarrow (\frac{x}{y})^3=(\frac{y}{z})^3=(\frac{z}{x})^3=\frac{x}{y}.\frac{y}{z}.\frac{z}{x}=1$
$\Rightarrow \frac{x}{y}=\frac{y}{z}=\frac{z}{x}=1$

$\Rightarrow x=y=z$.

Do đó:

$\frac{(x+y+z)^{2022}}{x^{337}.y^{674}.z^{1011}}=\frac{(3x)^{2022}}{x^{337}.x^{674}.x^{1011}}=\frac{3^{2022}.x^{2022}}{x^{2022}}=3^{2022}$

AH
Akai Haruma
Giáo viên
26 tháng 1 2021

Bạn tham khảo lời giải tại đây:

cho các số thực dưong x,y,z thỏa mãn : x2 y2 z2=3chứng minh rằng : \(\dfrac{x}{\sqrt[3]{yz}} \dfrac{y}{\sqrt[3]{zx}} \df... - Hoc24

AH
Akai Haruma
Giáo viên
26 tháng 1 2021

Cách khác:

Áp dụng BĐT AM-GM và BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\sum \frac{x}{\sqrt[3]{yz}}\geq \sum \frac{x}{\frac{y+z+1}{3}}=3\sum \frac{x}{y+z+1}=3\sum \frac{x^2}{xy+xz+x}\)

\(\geq 3. \frac{(x+y+z)^2}{2(xy+yz+xz)+(x+y+z)}\)

Ta sẽ chứng minh: \(\frac{3(x+y+z)^2}{2(xy+yz+xz)+(x+y+z)}\geq xy+yz+xz(*)\)

Đặt $x+y+z=a$ thì $xy+yz+xz=\frac{a^2-3}{2}$

Bằng BĐT AM-GM dễ thấy $\sqrt{3}< a\leq 3$

BĐT $(*)$ trở thành:

$\frac{3a^2}{a^2+a-3}\geq \frac{a^2-3}{2}$

$\Leftrightarrow a^4+a^3-12a^2-3a+9\leq 0$

$\Leftrightarrow (a-3)(a+1)(a^2+3a-3)\leq 0$

Điều này đúng với mọi $\sqrt{3}< a\leq 3$

Do đó BĐT $(*)$ đúng nên ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$

AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 5 2023

Đề lỗi công thức rồi. Bạn xem lại.

29 tháng 12 2017

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=0\\ \Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}1+\dfrac{x}{y}+\dfrac{x}{z}=0\\\dfrac{y}{x}+1+\dfrac{y}{z}=0\\\dfrac{z}{x}+\dfrac{z}{y}+1=0\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow\dfrac{x}{y}+\dfrac{x}{z}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}+\dfrac{z}{y}=-3\)

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=0\\ \Rightarrow\dfrac{yz+xz+xy}{xyz}=0\\ \Rightarrow yz+xz+xy=0\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}\right)\left(xy+xz+yz\right)=0\\ \Rightarrow\dfrac{yz}{x^2}+\dfrac{xz}{y^2}+\dfrac{xy}{z^2}+\dfrac{x}{y}+\dfrac{x}{z}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}+\dfrac{z}{y}=0\\ \Rightarrow\dfrac{yz}{x^2}+\dfrac{xz}{y^2}+\dfrac{xy}{z^2}=3\)

13 tháng 12 2017

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{-1}{z}\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^3=\left(\dfrac{-1}{z}\right)^3\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x^3}+3\dfrac{1}{x^2}\dfrac{1}{y}+3\dfrac{1}{x}\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{y^3}=\dfrac{-1}{z^3}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}+\dfrac{1}{z^3}=-3.\dfrac{1}{x}\dfrac{1}{y}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}+\dfrac{1}{z^3}=-3\dfrac{1}{x}\dfrac{1}{y}\dfrac{-1}{z}\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}+\dfrac{1}{z^3}\right)xyz=3\dfrac{1}{x}\dfrac{1}{y}\dfrac{1}{z}.xyz\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{yz}{x^2}+\dfrac{xz}{y^2}+\dfrac{xy}{z^2}=3\)

9 tháng 11 2020

Ta có : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0< =>\frac{xyz}{x}+\frac{xyz}{y}+\frac{xyz}{z}=0< =>xy+yz+zx=0\)

Suy ra \(\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)\left(xy+yz+zx\right)=0< =>\frac{y}{x}+\frac{yz}{x^2}+\frac{z}{x}+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}+\frac{zx}{y^2}+\frac{xy}{z}+\frac{y}{z}+\frac{x}{z}=0\)

\(< =>N+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{x}{y}+\frac{x}{z}=0< =>N+z\left(-\frac{1}{z}\right)+y\left(-\frac{1}{y}\right)+x\left(-\frac{1}{x}\right)=0\)

\(< =>N-1-1-1=0< =>N-3=0< =>N=3\)

Vậy \(N=\frac{xy}{z^2}+\frac{yz}{x^2}+\frac{zx}{y^2}=3\)

9 tháng 7 2023

Bài 3:

a, (\(x\)+y+z)2

=((\(x\)+y) +z)2

= (\(x\) + y)2 + 2(\(x\) + y)z + z2

\(x^2\) + 2\(xy\) + y2 + 2\(xz\) + 2yz + z2

=\(x^2\) + y2 + z2 + 2\(xy\) + 2\(xz\) + 2yz

 

9 tháng 7 2023

b, (\(x-y\))(\(x^2\) + y2 + z2 - \(xy\) - yz - \(xz\))

\(x^3\) + \(xy^2\) + \(xz^2\) - \(x^2\)y - \(xyz\) - \(x^2\)z - y3 

Đến dây ta thấy xuất hiện \(x^3\) - y3 khác với đề bài, em xem lại đề bài nhé

27 tháng 5 2018

\(VT=6\left(x^2+y^2+z^2\right)+10\left(xy+yz+xz\right)+2\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\)

\(=6\left(x+y+z\right)^2-2\left(xy+yz+xz\right)+2\frac{9}{2x+y+z+x+2y+z+x+y+2z}\)

\(\ge6\left(x+y+z\right)^2-2\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+2\frac{9}{4\left(x+y+z\right)}\)

\(=\: 6\cdot\left(\frac{3}{4}\right)^2-2\cdot\frac{\left(\frac{3}{4}\right)^2}{3}+2\cdot\frac{9}{4\cdot\frac{3}{4}}=9\)