Question

[Trân Phạm]

Tìm số nguyên có chín chữ số \(A=\overline{a_1a_2a_3b_1b_2b_3a_1a_2a_3}\) trong đó \(a_1\ne0\) và \(\overline{b_1b_2b_3}=2\overline{a_1a_2a_3}\), đồng thời A có thể viết dưới dạng \(A=p_1^2.p_2^2.p_3^2.p_4^2\) với \(p_1,p_2,p_3,p_4\) là bốn số nguyên tố khác nhau .

Answer 1

[Võ Đông Anh Tuấn]

\(A=\overline{a_1a_2a_3b_1b_2b_3a_1a_2a_3}=\overline{a_1a_2a_3}.10^6+\overline{b_1b_2b_3}.10^3+\overline{a_1a_2a_3}\)

\(=\overline{a_1a_2a_3}.10^6+2.\overline{a_1a_2a_3}.10^3+\overline{a_1a_2a_3}=\overline{a_1a_2a_3}.\left(10^6+2+1\right)\)

\(=\overline{a_1a_2a_3}\left(1002001\right)=\overline{a_1a_2a_3}.7^2.11^2.13^2\)

Vậy \(\overline{a_1a_2a_3}\) phải bình phương của một số nguyên tố p khác với 7,11,13.

Do \(\overline{b_1b_2b_3}< 1000\) nên \(\overline{a_1a_2a_3}< 500\)

\(\Rightarrow10< p< 23\)

Như vậy , \(p\) chỉ có thể là 17 hoặc 19 , do đó \(\overline{a_1a_2a_3}=289\) hoặc \(\overline{a_1a_2a_3}=361.\)