Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy = a, 2 mp(SAB) và (SCD) vuông góc vs nhau, gọi M là trung điểm SD. Tính theo a V khối chóp và khoảng cách giữa 2 đt AM,SC
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Lớp 12 thì chúng ta tọa độ hóa cho đơn giản
Gọi O là trung điểm AB \(\Rightarrow SO\perp\left(ABCD\right)\)
\(SO=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\) (trung tuyến tam giác đều)
\(AO=BO=\dfrac{a}{2}\)
Đặt hệ trục Oxyz vào chóp, với gốc O trùng O, tia Oz trùng tia OS, tia Ox trùng tia OB, tia Oy trùng tia ON (với N là trung điểm CD). Quy ước \(\dfrac{a}{2}\) là 1 đơn vị độ dài
Ta được tọa độ các điểm: \(S\left(0;0;\sqrt{3}\right)\) ; \(C\left(1;2;0\right)\) ; \(A\left(-1;0;0\right)\) ; \(D\left(-1;2;0\right)\)
Do M là trung điểm SD \(\Rightarrow M\left(-\dfrac{1}{2};1;\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\)
\(\overrightarrow{AM}=\left(\dfrac{1}{2};1;\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\) ; \(\overrightarrow{SC}=\left(1;2;-\sqrt{3}\right)\) ; \(\overrightarrow{AC}=\left(2;2;0\right)\)
\(d\left(AM;SC\right)=\dfrac{\left|\left[\overrightarrow{AM};\overrightarrow{SC}\right].\overrightarrow{AC}\right|}{\left|\left[\overrightarrow{AM};\overrightarrow{SC}\right]\right|}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}=\dfrac{a\sqrt{5}}{5}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Đáp án D
Gọi H,M lần lượt là trung điểm của AB và CD
Vì Δ S A B đều và mặt phẳng S A B ⊥ A B C D ⇒ S H ⊥ A B C D .
Ta có
C D ⊥ H M C D ⊥ S H ⇒ C D ⊥ S H M (1)
Gọi I là hình chiếu vuông góc của H lên mặt phẳng S C D (2)
Từ (1) và (2) suy ra H I ⊥ S C D
Vì A B // C D ⇒ A B // S C D ⇒ d A , S C D = d H , S C D = H I = 3 a 7 7
Giải sử A B = x x > 0 ⇒ S H = x 3 2 H M = x .
Mặt khác: 1 H I 2 = 1 H M 2 + 1 S H 2 ⇔ 7 9 a 2 = 1 x 2 + 4 3 x 2 ⇔ x 2 = 3 a 2 ⇒ x = 3 a
Thể tích: V S . A B C D = 1 3 S H . S A B C D = 1 3 . 3 a 2 .3 a 2 = 3 a 3 2 (đvtt)