Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(S=2014+\frac{2014}{1+2}+\frac{2014}{1+2+3}+...+\frac{2014}{1+2+3+...+10000}\)
\(S=\frac{2014}{\frac{1.2}{2}}+\frac{2014}{\frac{2.3}{2}}+\frac{2014}{\frac{3.4}{2}}+...+\frac{2014}{\frac{10000.10001}{2}}\)
\(S=\frac{4028}{1.2}+\frac{4028}{2.3}+\frac{4028}{3.4}+...+\frac{4028}{10000.10001}\)
\(S=4028\left(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{10000.10001}\right)\)
\(S=4028\left(\frac{2-1}{1.2}+\frac{3-2}{2.3}+\frac{4-3}{3.4}+...+\frac{10001-10000}{10000.10001}\right)\)
\(S=4028\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{10000}-\frac{1}{10001}\right)\)
\(S=4028\left(1-\frac{1}{10001}\right)=\frac{40280000}{10001}\)
Bước 1: Xét mẫu số của số hạng tổng quát trong tổng trên:
S = 1 + 2 + ... + (n - 1) + n ( * )
Khi viết S theo thứ tự ngược lại la có:
S = n + (n - 1) + ... + 2 + 1 ( ** )
Cộng vế với vế của ( * ) và ( ** ) ta có:
S + S = [1 + n] + [2 + (n - 1)] + ... + [(n - 1) + 2] + [n + 1]
2 . S = [n + 1] + [n + 1] + . . . + [n + 1] + [n + 1] (Tổng có n số hạng [n + 1] )
2 . S = n.(n + 1)
=> S = n.(n + 1)/2
=> Số hạng tổng quát của tổng đã cho là:
Bước 2: Ta có nhận xét:
=> ( *** )
Bước 3: Thay n = 1, 2, ... vào ( *** ) ta được các đẳng thức tương ứng:
. . .
Cộng các vế với nhau ta được:
Vậy tổng đã cho có kết quả bằng 2.
rảnh quá ngồi bấm, nếu bấm máy tính thì tự ngồi tạo công thức chứ rảnh ghê
Chứng minh rổng quát, Nếu:
\(A=\frac{1}{a^{2.k}}-\frac{1}{a^{2.\left(k+1\right)}}+\frac{1}{a^{2.\left(k+2\right)}}-\frac{1}{a^{2.\left(k+3\right)}}+...+\frac{1}{a^{2.\left(k+n\right)}}-\frac{1}{a^{2.\left(k+n+1\right)}}\) (a;b \(\in\) N*)
\(a^{2.k}.A=1-\frac{1}{a^{2.k}}+\frac{1}{a^{2.\left(k+1\right)}}-\frac{1}{a^{2.\left(k+2\right)}}+...+\frac{1}{a^{2.\left(k+n-1\right)}}-\frac{1}{a^{2.\left(k+n\right)}}\)
\(a^{2.k}.A+A=\left(1-\frac{1}{a^{2.k}}+\frac{1}{a^{2.\left(k+1\right)}}-\frac{1}{a^{2.\left(k+2\right)}}+..+\frac{1}{a^{2.\left(k+n-1\right)}}-\frac{1}{a^{2.\left(k+n\right)}}\right)-\left(\frac{1}{a^{2.k}}-\frac{1}{a^{2.\left(k+1\right)}}+\frac{1}{a^{2.\left(k+2\right)}}-\frac{1}{a^{2.\left(k+3\right)}}+..+\frac{1}{a^{2.\left(k+n\right)}}-\frac{1}{a^{2.\left(k+n+1\right)}}\right)\)
\(A.\left(a^{2.k}+1\right)=1-\frac{1}{a^{2.\left(k+n+1\right)}}< 1\)
\(A< \frac{1}{a^{2.k}+1}\)
Áp dụng vào bài toán dễ thấy a = 3; k = 1
Như vậy, \(A< \frac{1}{3^{2.1}+1}=\frac{1}{3^2+1}=\frac{1}{9+1}=\frac{1}{10}=0,1\left(đpcm\right)\)
\(A=\frac{1}{3^2}-\frac{1}{3^4}+\frac{1}{3^6}-\frac{1}{3^8}+...+\frac{1}{3^{2014}}-\frac{1}{3^{2016}}\)
\(\Rightarrow9A=1-\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^4}-\frac{1}{3^6}+...+\frac{1}{3^{2012}}-\frac{1}{3^{2014}}\)
\(\Rightarrow10A=1-\frac{1}{3^{2016}}\)
\(\Rightarrow A=\frac{1-\frac{1}{3^{2016}}}{10}\)
Vì 0,1 = \(\frac{1}{10}\) nên \(\frac{1-\frac{1}{3^{2016}}}{10}< \frac{1}{10}\) hay A < 0,1
\(A=\left(\frac{1}{1+2}\right).\left(\frac{1}{1+2+3}\right).....\left(\frac{1}{1+2+3+...+2014}\right)\)
\(A=\left(\frac{1}{\frac{2.\left(2+1\right)}{2}}\right).\left(\frac{1}{\frac{3.\left(3+1\right)}{2}}\right).....\left(\frac{1}{\frac{2014.\left(2014+1\right)}{2}}\right)\)
\(A=\frac{1}{\frac{2.3}{2}}.\frac{1}{\frac{3.4}{2}}.\frac{1}{\frac{4.5}{2}}.....\frac{1}{\frac{2014.2015}{2}}\)
\(A=\frac{2}{2.3}.\frac{2}{3.4}.\frac{2}{4.5}.....\frac{2}{2014.2015}\)
Đến đây thì không tính được nữa , có thể bạn chép nhầm dấu cộng thành dấu nhân rồi.
Nếu đổi dấu nhân thành dấu cộng, ta được:
\(A=\frac{2}{3.4}+\frac{2}{4.5}+...+\frac{2}{2014.2015}\)
\(A=2.\left(\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+\frac{1}{5.6}+...+\frac{1}{2014.2015}\right)\)
\(A=2.\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-...+\frac{1}{2014}-\frac{1}{2015}\right)\)
\(A=2.\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2015}\right)\)
\(A=2.\frac{2012}{6045}\)
\(A=\frac{4024}{6045}\)
\(\frac{1}{2}A=\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{2014.2015}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2014}-\frac{1}{2015}\)
=1/2-1/2015=2013/4030
=>A=2013/2015
tick nhé
\(\frac{1}{2}A=\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+...+\frac{1}{2014.2015}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+..+\frac{1}{2014}-\frac{1}{2015}\)
\(=\frac{1}{2}-\frac{1}{2015}=\frac{2013}{4030}=>A=\frac{2013}{4030}:2=\frac{2013}{2015}\)
tick nhe
\(a_{n-1}=\frac{2}{n\left(n+1\right)}=\frac{2}{n}+\frac{2}{n+1}\)
\(A=\frac{2}{2}-\frac{2}{3}+\frac{2}{3}-\frac{2}{4}+\frac{2}{4}-\frac{2}{5}+.......+\frac{2}{2014}-\frac{2}{2015}=1-\frac{2}{2015}=\frac{2013}{2015}\)