Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
-Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{4}a^2+b^2\ge ab\\\dfrac{1}{4}a^2+c^2\ge ac\\\dfrac{1}{4}a^2+d^2\ge ad\end{matrix}\right.\)
-Cộng các vế, ta được:
\(\dfrac{3}{4}a^2+b^2+c^2+d^2\ge ab+ac+ad\)
\(\Rightarrow\dfrac{3}{4}a^2+b^2+c^2+d^2+\dfrac{1}{4}a^2\ge ab+ac+ad\) (vì \(\dfrac{1}{4}a^2\ge0\forall a\))
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2\ge ab+ac+ad\left(đpcm\right)\)
-Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=d=0\)
a) `4x-2>5x+1`
`<=>-x>3`
`<=>x<-3`
b) Theo BĐT Cauchy:
`a^2+b^2 >= 2ab`
Tương tự:
`b^2+c^2>=2bc`
`c^2+a^2>=2ca`
Cộng vế với vế: `2(a^2+b^2+c^2) >= 2(ab+bc+ca)`
`<=>a^2+b^2+c^2 >= ab+bc+ca` (ĐPCM)
a, \(4x-2>5x+1\Leftrightarrow-x>3\Leftrightarrow x< -3\)
b, Ta có : \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ca\)
\(\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ac+a^2\right)\ge0\)
\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)* luôn đúng *
\(a,VT=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)=a^2c^2+b^2c^2+a^2d^2+b^2d^2\)
\(VP=\left(ac+bd\right)^2+\left(ad-bc\right)^2=a^2c^2+2abcd+b^2d^2+a^2d^2-2abcd+b^2c^2=a^2c^2+b^2c^2+a^2d^2+b^2d^2\)
\(\Rightarrow VT=a^2c^2+b^2c^2+a^2d^2+b^2d^2=VP\left(đpcm\right)\)
b, Tham khảo:Chứng minh hằng đẳng thức:(a+b+c)3= a3 + b3 + c3 + 3(a+b)(b+c)(c+a) - Hoc24
a) \(\dfrac{a^2+a+1}{a^2-a+1}=\dfrac{\left(a+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}}{\left(a-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}}\)
Thấy tử và mẫu của phân số đều lớn hơn 0 => \(\dfrac{a^2+a+1}{a^2-a+1}>0\)
b)\(a^2+b^2+c^2+3\ge2\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2a+1\right)+\left(c^2-2a+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng với mọi a,b,c)
Dấu = xra khi a=b=c=1
b)
\(a^2-2a+1+b^2-2b+1+c^2-2c+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2\ge0\) ( Luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
Bài 1:
giá trị của biểu thức \(\dfrac{2x+3}{x+2}\)lớn hơn 1. ĐKXĐ: x\(\ne-2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2x+3}{x+2}>1\Leftrightarrow2x+3>x+2\)
\(\Leftrightarrow x>-1\)
Vậy với mọi giá trị x > -1 và x khác hai. ta có được giá trị x sao cho giá trị của biểu thức \(\dfrac{2x+3}{x+2}\)lớn hơn 1
Bài 2:
a, \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x-5=3\\2x-5=-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=4\\x=1\end{matrix}\right.\)
Vậy..........
b,ĐK 20-x>0 <=> x<20
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3x-6=20-x\\3x-6=x-20\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=6,5\\x=-7\end{matrix}\right.\)
Vậy ...........
Bài 3:
Theo bất đẳng thức tam giác:
\(a< b+c\Leftrightarrow a^2< ab+ac\)
\(b< a+c\Leftrightarrow b^2=ab+bc\)
\(c< a+b\Leftrightarrow c^2< ac+bc\)
Cộng 3 vế lại, ta có đpcm
bài 1:
\(\dfrac{2x+3}{x+2}\)>1\(\Leftrightarrow\)\(\dfrac{2x+3}{x+2}>\dfrac{x+2}{x+2}\)\(\Rightarrow\)2x+3>x+2
\(\Rightarrow\)2x-x>2-3\(\Leftrightarrow\)x>-1
vậy x>-1 thì giá trị của biểu thức >1
bài 2:
a.với x<3\(\Leftrightarrow\)2x-5<3\(\Leftrightarrow\)/2x-5/=-(2x-5)
-2x+5=3\(\Leftrightarrow\)-2x=3-5\(\Leftrightarrow\)-2x=-2\(\Leftrightarrow\)x=1(k thỏa mãn)
với x>3\(\Leftrightarrow\)2x-5>3\(\Leftrightarrow\)/2x-5/=2x-5
2x-5=3\(\Leftrightarrow\)2x=3+5\(\Leftrightarrow\)2x=8\(\Leftrightarrow\)x=4(thỏa mãn)
vạy phương trình có tập nghiệm là S={4}
Bài 1:
\(\left|3x+1\right|=5+6x\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3x+1=5+6x\\3x+1=-5-6x\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3x+1-5-6x=0\\3x+1+5+6x=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}-3x-4=0\\9x+6=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-\dfrac{4}{3}\\x=-\dfrac{2}{3}\end{matrix}\right.\)
Vậy pt có tập nghiệm \(S=\left\{-\dfrac{4}{3};-\dfrac{2}{3}\right\}\)
Bài 2:
Giả sử : \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )
⇒ đpcm
2.
a2 + b2 + c2 >= ab + ac + bc
<=> 2a2 + 2b2 + 2c2 >= 2 ab + 2ac + 2bc
<=> (a2 - 2ab + b2) + ( a2 - 2ac + c2) + ( b2 - 2bc + c2) >= 0
<=> ( a - b)2 + ( a - c)2 + ( b - c)2 >= 0 ( luôn đúng với mọi a, b, c)