Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Khai triển vế phải và rút gọn ,ta được kết quả vế phải bằng vế trái .
a )Nếu x ,y,z không âm thì x +y +z không âm .Suy ra
x3 +y3 +z3 -3xyz >=0.
Từ đó ,ta có \(\dfrac{x^3+y^3+z^3}{3}>=xyz.\)
b ) Đặt x \(\sqrt[3]{a}\) ,y =\(\sqrt[3]{b}\) ,z =\(\sqrt[3]{c}\)
Ta thấy a ,b ,c không âm ,nên x ,y ,z không âm .Dựa vào kết quả câu a ) ta có
\(\dfrac{\left(\sqrt[3]{a}\right)^3+\left(\sqrt[3]{b}\right)^3+\left(\sqrt[3]{c}\right)^3}{3}>=\sqrt[3]{a}.\sqrt[3]{b}.\sqrt[3]{c}\)
Suy ra \(\dfrac{a+b+c}{3}>=\sqrt[3]{abc}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
\(y+2\ge\left(2-x\right)\left(2-z\right)\left(2-y\right)\).
Theo bất đẳng thức AM - GM: \(\left(2-x\right)\left(2-z\right)\le\dfrac{\left(4-x-z\right)^2}{4}=\dfrac{\left(2-y\right)^2}{4}\).
Do đó ta chỉ cần chứng minh:
\(y+2\ge\dfrac{\left(2-y\right)^3}{4}\).
Mặt khác, bđt trên tương đương: \(\dfrac{y\left[\left(y-3\right)^2+7\right]}{4}\ge0\) (luôn đúng).
Do đó bđt ban đầu cũng đúng.
Đẳng thức xảy ra khi y = 0; x = z = 1.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
x^3+y^3+z^3-3xyz=1/2(x+y+z)[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2]
2 cái bằng nhau
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Bằng một số bước tính toán cơ bản, chúng ta có được:
\(VT-VP=\Sigma_{cyc}\frac{x\left(x-z\right)^2}{2\left(x^2+z^2\right)}\ge0\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\dfrac{x^3}{y+2z}+\dfrac{y^3}{z+2x}+\dfrac{z^3}{x+2y}=\dfrac{x^4}{xy+2xz}+\dfrac{y^4}{yz+2xy}+\dfrac{z^4}{xz+2yz}\)
\(\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3\left(xy+yz+zx\right)}\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}=\dfrac{1}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
có: \(x\left(2x-3\right)^2\ge0\Leftrightarrow4x^3-12x^2+9x\ge0\Leftrightarrow4x^3-12x^2+12x-4\ge3x-4\)
\(\Leftrightarrow4\left(x-1\right)^3\ge3x-4\)
\(\Leftrightarrow\left(1-x\right)^3\le1-\frac{3}{4}x\).
tương tự và cộng lại ta có ngay đpcm.
Dấu = xảy ra khi 2 số bằng 1,5; 1 số bằng 0
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
Nếu x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 thì:
x + y + z ≥ 0
x - y 2 + y - z 2 + z - x 2 ≥ 0
Suy ra:
x 3 + y 3 + z 3 - 3 x y z ≥ 0 ⇔ x 3 + y 3 + z 3 ≥ 3 x y z
Hay: x 3 + y 3 + z 3 3 ≥ x y z