NB
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NP
1
14 tháng 3 2017
Ta có:
\(A=\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}+...+\frac{100}{3^{100}}+\frac{101}{3^{101}}\)
\(\Rightarrow3\cdot A=3\cdot\left(\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}+...+\frac{100}{3^{100}}+\frac{101}{3^{101}}\right)\)
\(\Rightarrow3\cdot A=3\cdot\frac{1}{3}+3\cdot\frac{2}{3^2}+3\cdot\frac{3}{3^3}+...+3\cdot\frac{100}{3^{100}}+3\cdot\frac{101}{3^{101}}\)
\(\Rightarrow3\cdot A=1+\frac{2}{3}+\frac{3}{3^2}+...+\frac{100}{3^{99}}+\frac{101}{3^{100}}\)
\(\Rightarrow3\cdot A-A=\left(1+\frac{2}{3}+\frac{3}{3^2}+...+\frac{100}{3^{99}}+\frac{101}{3^{100}}\right)-\left(\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}+...+\frac{100}{3^{100}}+\frac{101}{3^{101}}\right)\)
\(\Rightarrow2\cdot A=1+\frac{2}{3}+\frac{3}{3^2}+...+\frac{100}{3^{99}}+\frac{101}{3^{100}}-\frac{1}{3}-\frac{2}{3^2}-\frac{3}{3^3}-...-\frac{100}{3^{100}}-\frac{101}{3^{101}}\)
\(\Rightarrow2\cdot A=1+\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{3}{3^2}-\frac{2}{3^2}\right)+...+\left(\frac{101}{3^{100}}-\frac{100}{3^{100}}\right)-\frac{101}{3^{101}}\)
\(\Rightarrow2\cdot A=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{100}}-\frac{101}{3^{101}}\)
Khi đặt \(S=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{100}}\) thì ta sẽ có 2 điều:
- Điều 1: Khi đó:
\(2\cdot A=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{100}}-\frac{101}{3^{101}}\)
\(\Rightarrow2\cdot A=S-\frac{101}{3^{101}}\)
\(\Rightarrow2\cdot A< S\) ( 1 )
Điều 2: Khi đó:
\(S=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{100}}\)
\(\Rightarrow3\cdot S=3\cdot\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{100}}\right)\)
\(\Rightarrow3\cdot S=3\cdot1+3\cdot\frac{1}{3}+3\cdot\frac{1}{3^2}+...+3\cdot\frac{1}{3^{100}}\)
\(\Rightarrow3\cdot S=3+1+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{3^{99}}\)
\(\Rightarrow3\cdot S-S=\left(3+1+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{3^{99}}\right)-\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{100}}\right)\)
\(\Rightarrow2\cdot S=3+1+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{3^{99}}-1-\frac{1}{3}-\frac{1}{3^2}-...-\frac{1}{3^{100}}\)
\(\Rightarrow2\cdot S=3+\left(1-1\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3^2}-\frac{1}{3^2}\right)+...+\left(\frac{1}{3^{99}}-\frac{1}{3^{99}}\right)-\frac{1}{3^{100}}\)
\(\Rightarrow2\cdot S=3+0+0+0+...+0-\frac{1}{3^{100}}\)
\(\Rightarrow2\cdot S=3-\frac{1}{3^{100}}\)
Do \(3-\frac{1}{3^{100}}< 3\) nên:
\(\Rightarrow2\cdot S< 3\)
\(\Rightarrow S< \frac{3}{2}\) ( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ), theo tính chất bắc cầu suy ra:
\(2\cdot A< \frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow A< \frac{3}{2}:2\)
\(\Rightarrow A< \frac{3}{2\cdot2}\)
\(\Rightarrow A< \frac{3}{4}\) ( đpcm )
12 tháng 5 2017
\(Cm:\frac{1}{3}-\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}-...+\frac{99}{3^{99}}-\frac{100}{3^{100}}< \frac{3}{16}\)
Gọi biểu thức trên là A, ta có:
3A = 1-2/3+3/3^2-...-100/3^99
3A + A = [1-2/3+3/3^2-...-100/3^99] + [1/3-2/3^2+3/3^3-...-100/3^100]
4A = 1 - 1/3 + 1/3^2 - ... - 1/3^99 - 100/3^99 [1]
Gọi B = 1-1/3 + 1/3^2 - ... - 1/3^99
3B = 3 - 1 + 1/3 - 1/3^2 -...-1/3^2012
3B + B = [3-1+1/3-1/3^2-...-1/3^2012] + [1-1/3 + 1/3^2 - ... - 1/3^99]
4B = 3 - 1/3^99
=> 4B < 3 => B < 1/4 [2]
Từ [1], [2] => 4A < B < 3/4 => A < 3/16 [đpcm]
MỎI TAY QUỚ
tk nha
12 tháng 5 2017
Lúc đặt câu hỏi, bạn bấm vào góc trên cùng bên trái để gõ phép tính đẹp. Ý của bạn có phải là:
\(\frac{1}{3}-\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}-\frac{4}{3^4}+...+\frac{99}{3^{99}}-\frac{100}{3^{100}}< \frac{3}{16}\)
T
3 tháng 7 2019
#)Giải :
\(A=1+2+2^2+...+2^{100}\)
\(2A=2+2^2+2^3+...+2^{101}\)
\(2A-A=\left(2+2^2+2^3+...+2^{101}\right)-\left(1+2+2^2+...+2^{100}\right)\)
\(A=2^{101}-1\)
\(B=1+3^2+3^4+...+3^{100}\)
\(3^2B=3^2+3^4+3^6+...+3^{102}\)
\(3^2B-B=\left(3^2+3^4+3^6+...+3^{102}\right)-\left(1+3^2+3^4+...+3^{100}\right)\)
\(8B=3^{102}-1\)
\(B=\frac{3^{102}-1}{8}\)
\(C=1+5^3+5^6+...+5^{99}\)
\(5^2C=5^3+5^6+5^9+...+5^{102}\)
\(5^2C-C=\left(5^3+5^6+5^9...+5^{102}\right)-\left(1+5^3+5^6+...+5^{99}\right)\)
\(24C=5^{102}-1\)
\(C=\frac{5^{102}-1}{24}\)
XO
3 tháng 7 2019
a) A = 1 + 22 + ... + 2100
=> 2A = 22 + 23 + ... + 2101
Lấy 2A - A = (2 + 22 + ... + 2101) - (1 + 22 + ... 2100)
A = 2101 - 1
b) B = 1 + 32 + 34 + ... + 3100
=> 32B = 32 + 34 + 36 + ..... + 3102
=> 9B = 32 + 34 + 36 + ..... + 3102
Lấy 9B - B = ( 32 + 34 + 36 + ..... + 3102) - (1 + 32 + 34 + ... + 3100)
8B = 3102 - 1
B = \(\frac{3^{102}-1}{8}\)
c) C = 1 + 53 + 56 + ... + 599
=> 53.C = 53 . 56 . 59 + ... + 5102
=> 125.C = 53 . 56 . 59 + ... + 5102
Lấy 125.C - C = (53 . 56 . 59 + ... + 5102) - (1 + 53 + 56 + ... + 599)
124.C = 5102 - 1
=> C = \(\frac{5^{102}-1}{124}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 12 2023
Lời giải:
Đặt \(A=\frac{1}{3}-\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}-....+\frac{99}{3^{99}}-\frac{100}{3^{100}}\)
\(3A=1-\frac{2}{3}+\frac{3}{3^2}-.....+\frac{99}{3^{98}}-\frac{100}{3^{99}}\)
\(\Rightarrow 4A=A+3A=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{3^3}+....-\frac{1}{3^{99}}-\frac{100}{3^{100}}\)
\(12A=3-1+\frac{1}{3}-\frac{1}{3^2}+...-\frac{1}{3^{98}}-\frac{100}{3^{99}}\)
$\Rightarrow 4A+12A=3-\frac{100}{3^{99}}-\frac{1}{3^{99}}-\frac{100}{3^{100}}<3$
$\Rightarrow 16A< 3$
$\Rightarrow A< \frac{3}{16}$
S
30 tháng 4 2017
\(E=\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}+...+\frac{100}{3^{100}}\)
\(3E=1+\frac{2}{3}+\frac{3}{3^2}+...+\frac{100}{3^{99}}\)
\(3E-E=\left(1+\frac{2}{3}+\frac{3}{3^2}+...+\frac{100}{3^{99}}\right)-\left(\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}+...+\frac{100}{3^{100}}\right)\)
\(2E=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+....+\frac{1}{3^{99}}-\frac{100}{3^{100}}\)
\(6E=3+1+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{3^{98}}-\frac{100}{3^{99}}\)
\(6E-2E=\left(3+1+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{3^{98}}-\frac{100}{3^{99}}\right)-\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{99}}-\frac{100}{3^{100}}\right)\)
\(4E=3-\frac{100}{3^{99}}-\frac{1}{3^{99}}+\frac{100}{3^{100}}\)
\(4E=3-\frac{300}{3^{100}}-\frac{3}{3^{100}}+\frac{100}{3^{100}}\)
\(4E=3-\frac{203}{3^{100}}< 3\)
\(\Rightarrow4E< 3\)
\(\Rightarrow E< \frac{3}{4}\left(đpcm\right)\)
D
30 tháng 4 2017
Bài 1:
Ta có: \(3+3^2+3^3+...+3^{100}\)
\(=\left(3+3^2+3^3+3^4\right)+....+\left(3^{97}+3^{98}+3^{99}+3^{100}\right)\)
\(=120+3^5\left(3+3^2+3^3+3^4\right)+....+3^{96}\left(3+3^2+3^3+3^4\right)\)
\(=120+3^5.120+...+3^{96}.120\)
\(=120.\left(1+3^5+.....+3^{96}\right)\)
\(\Rightarrow3+3^2+3^3+3^4+....+3^{100}\)chia hết cho 120 (vì có chứa thừa số 120)
M
4
25 tháng 2 2017
3C= 3^2+3^3+...+3^101
3C-C= ( 3^2+..;+3^101)-(3+...+3^100)
2C=3^101-3
Vì C chia hết cho 40 nên 2C chia hết cho 80
3^4 chia 8 dư 1
=> 3^100 = 3^4x25 chia 80 dư 1
3^101 chia 80 dư 3
3^101 - 3 chia 8 dư 0
2C chia hết cho 80 vậy C chia hết cho 40
FA
1
26 tháng 10 2019
Ta có B = 1+2+2^2 + 2^3 + ...+ 2 ^100
= 1 + ( 2+2^2) +2 ( 2^3+2^4) +..+ ( 2^99 + 2^100)
= 1+2.(1+2 ) + 2^3.(1+2) + ...+ 2^99.( 1+2)
= 1+2.3+2^3.3 +....+ 2^99 .3 :3 dư 1 => đpcm
Vậy B:3 dư 1
( Lưu ý : đpcm= điều phải chứng minh)