Question

[Nguyễn Mai Anh]

cho tam giác MNP cân tại M có đường cao MI .Trên tia đối của tia NI lấy điểm A sao cho NA = NI. lấy điểm B sao cho P là trung điểm của MB 

a. chứng minh rằng : I là trung điểm của NP và I cách đều hai cạnh MN,MP.

 b.Chứng minh rằng BI=MA 

c.Gọi C là trung điểm của AB.Chứng minh rằng ba điểm M,I,C thẳng hàng

Answer 1

[nguyễn an phát]

 

a) xét ΔMPI và ΔMNI có:

\(\widehat{MIN}=\widehat{MIP}=90^o\)

MN=MP(ΔMNP cân tại M)

\(\widehat{MNI}=\widehat{MPI}\)(ΔMNP cân tại M)

⇒ΔMPI=ΔMNI(c.huyền.g.nhọn)

⇒IN=IP(2 cạnh tương ứng)

hay I là trung điểm của NP(đ.p.ch/m)

vì ΔMPI=ΔMNI nên \(\widehat{PMI}=\widehat{NMI}\)(2 góc tương ứng)

hay MI là phân giác của \(\widehat{PMN}\)

⇒điểm I cách đều 2 cạnh MN và MP(đ.p.ch/m)

b)Ta có: \(\widehat{MNI}+\widehat{MNA}=180^o\) (2 góc kề bù)

Mặc khác \(\widehat{MPI}+\widehat{BPI}=180^o\)(2 góc kề bù)

Mà \(\widehat{MNI}=\widehat{MPI}\)

Do đó: \(\widehat{MNA}=\widehat{BPI}=180^o-\widehat{MNI}\)

Vì I là trung điểm của NP⇒NI=PI

Mà NI=NA

⇒NA=PI

vì ΔMNP cân tại M ⇒MN=MP

Mà BP=MP ⇒BP=MN

xét ΔMNA và ΔBPI có:

\(\widehat{MNA}=\widehat{BPI}\)(ch/m trên)

NA=PI(ch/m trên)

BP=MN(ch/m trên)

⇒ΔMNA=ΔBPI(c-g-c)

⇒BI=MA(2 cạnh tương ứng)

c)Vì P là trung điểm của MB ⇒AP là đường trung tuyến của ΔMNP

vì C là trung điểm của AB ⇒MC là đường trung tuyến của ΔMNP

⇒I là trọng tâm của ΔMAB

⇒I,M,C thẳng hàng(đ.p.ch/m)