Question

[thu trang]

Cho tam giác ABC vuông tại A.Dg cao AH cắt dg phân giác BD tại I.CMR:

a;IA.BH=IH.BA

b;AB^2=HB.HC

c;HI/IA=AD/DC

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a) Xét ΔABH có BI là đường phân giác ứng với cạnh AH(gt)

nên \(\frac{AI}{IH}=\frac{AB}{HB}\)

hay \(IA\cdot BH=IH\cdot AB\)(đpcm)

b)

Sửa đề: Chứng minh \(AH^2=HB\cdot HC\)

Xét ΔAHB và ΔCHA có

\(\widehat{AHB}=\widehat{CHA}\left(=90^0\right)\)

\(\widehat{ABH}=\widehat{CAH}\)(cùng phụ với \(\widehat{HAB}\))

Do đó: ΔAHB∼ΔCHA(g-g)

\(\Rightarrow\frac{AH}{CH}=\frac{HB}{HA}\)

hay \(AH^2=BH\cdot CH\)(đpcm)

c) Ta có: \(\frac{AI}{IH}=\frac{AB}{HB}\)

\(\Rightarrow\frac{IH}{IA}=\frac{HB}{AB}\)(1)

Xét ΔABC có BD là đường phân giác ứng với cạnh AC(gt)

nên \(\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}\)(tính chất đường phân giác của tam giác)(2)

Xét ΔAHB và ΔCAB có

\(\widehat{AHB}=\widehat{CAB}\left(=90^0\right)\)

\(\widehat{ABH}\) chung

Do đó: ΔAHB∼ΔCAB(g-g)

⇒\(\frac{HB}{AB}=\frac{AB}{CB}\)(3)

Từ (1),(2) và (3) suy ra \(\frac{HI}{IA}=\frac{AD}{DC}\)(đpcm)