Question

[Hoàng Ngọc Minh]

cho (n,6)=1.Chứng minh:n^2-1 chia hết cho 24 vơi mọi n thuộc N

Answer 1

[Hoàng Nguyễn Văn]

Vì \(\left(n,6\right)=1\Rightarrow n⋮̸̸6\Rightarrow n⋮̸2,⋮̸3̸\)

+)   Vì n không chia hết cho 2 

=> n lẻ => n=2k+1 ( k thuộc Z); 

=> n^2-1 = (2k+1)^2-1= (2k)(2k+2)=4k(k+1) ;

+)    Vì k , k+1 là 2 số nguyên liên tiếp => k(k+1) chia hết cho 2

=> n^2-1 chia hết cho 8 (1)  ( hay cm đc 1 số chính phương lẻ chia 8 dư 1) 

+)    Xét 3 số nguyên liên tiếp n-1,n,n+1 có 1 số chia hết cho 3 mà n không chia hết cho 3

=> n-1 hoặc n+1 chia hết cho 3=> n^2-1 chia hết cho 3 (2) 

+)     Mặt khác (8,3)=1  kết hợp (1),(2)

=> n^2-1 chia hết cho 8.3 hay chia hết cho 24

Answer 2

[sjfdksfdkjlsjlfkdjdkfsl]

n và 6 NTCN => n không chia hết cho 2 và 3

+ Nếu n = 3k+1 (k thuộc N) => n² -1= (3k+1)²= 9k²+1+6k-1=9k²+6k chia hết cho 3

+ Nếu n = 3k+2 => n² -1= (3k+2)²= 9k²+4+12k-1=9k²+12k + 3 chia hết cho 3

Vậy n² - 1 chia hết cho 3 (1)

n không chia hết cho 2 => n có dạng 2m + 1 (m chẵn, m thuộc N)

=> n²-1 = (2m+1)²-1 = 4m²+1 - 1 = 4m²

Mà m chẵn nên 4m² chia hết cho 8 (2)

Và (3;8) = 1 (3)

(1), (2), (3) => đpcm