QJ
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
22 tháng 12 2017
Áp dụng bđt AM - GM ta có :
\(\frac{1}{x}+x\ge2\sqrt{\frac{1}{x}.x}=2\)
\(\frac{2}{y}+2y=2\left(\frac{1}{y}+y\right)\ge2.2\sqrt{\frac{1}{y}.y}=4\)
Cộng vế với vế ta được : \(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+x+2y\ge6\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+3\ge6\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\ge3\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=1\)
10 tháng 5 2019
Ta có:\(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}\ge\frac{9}{x+2y}=\frac{9}{3}=3\left(đpcm\right)\)
Dấu '=' xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x=y\\x+2y=3\end{cases}\Leftrightarrow x=y=1}\)
:))
6 tháng 1 2019
easy!
Ta có:
\(\frac{1}{x^3\left(2y-x\right)}+x^2+y^2=\frac{1}{x^2\left(2xy-x^2\right)}+x^2+\left(y^2+x^2-x^2\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số không âm,ta được:
\(x^2+y^2\ge2xy\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x^3\left(2y-x\right)}+x^2+y^2\ge\frac{1}{x^2\left(2xy-x^2\right)}+x^2+\left(2xy-x^2\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM một lần nữa,ta được:
\(\frac{1}{x^3\left(2y-x\right)}+x^2+y^2\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{x^2\left(2xy-x^2\right)}\cdot x^2\cdot\left(2xy-x^2\right)}=3\left(đpcm\right)\)
xong!
HF
13 tháng 10 2019
Câu 1:
\(M=\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)=x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}+2=x^2y^2+\frac{1}{256x^2y^2}+\frac{255}{256x^2y^2}+2\)
\(\ge\frac{1}{8}+2+\frac{255}{256x^2y^2}\)
Ta lại có: \(1=x+y\ge2\sqrt{xy}\Leftrightarrow1\ge16x^2y^2\)
\(\Rightarrow M\ge\frac{17}{8}+\frac{255}{16}=\frac{289}{16}\)
Dấu = xảy ra khi x=y=1/2
HF
13 tháng 10 2019
Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz: \(\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}\right)\ge\frac{1}{3x+3y+2z}\)
CMTT rồi cộng vế với vế ta có.\(VT\le\frac{1}{16}\cdot4\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)=\frac{3}{2}\)
Dấu = xảy ra khi x=y=z=1
19 tháng 7 2020
\(T=21\left(x+\frac{1}{y}\right)+3\left(y+\frac{1}{x}\right)\)
\(=3\left(\frac{1}{x}+\frac{x}{9}\right)+21\left(\frac{1}{y}+\frac{y}{9}\right)+\frac{62x}{9}+\frac{2y}{3}\)
\(\ge6\sqrt{\frac{1}{x}\cdot\frac{x}{9}}+42\sqrt{\frac{1}{y}\cdot\frac{y}{9}}+\frac{62\cdot3}{9}+\frac{2\cdot3}{9}\)
\(=\frac{112}{3}\)
Đẳng thức xảy ra tại x=3;y=3
30 tháng 8 2019
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki :
\(\left[\left(\sqrt{x}\right)^2+\left(\sqrt{2y}\right)^2\right]\left[\left(\sqrt{\frac{1}{x}}\right)^2+\left(\sqrt{\frac{2}{y}}\right)^2\right]\ge\left(\sqrt{x}\cdot\sqrt{\frac{1}{x}}+\sqrt{2y}\cdot\sqrt{\frac{2}{y}}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+2y\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\right)\ge\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{y}}{\sqrt{y}}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow3\cdot\left(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\right)\ge\left(1+2\right)^2\)
\(\Leftrightarrow3\cdot\left(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\right)\ge9\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\ge3\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=1\)
7 tháng 9 2019
Cách khác:
Với x,y >0.Áp dụng bđt svac -xơ có:
\(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}=\frac{1}{x}+\frac{4}{2y}\ge\frac{\left(1+2\right)^2}{x+2y}=\frac{9}{3}=3\)
=> \(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\ge3\)
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=1
25 tháng 9 2016
a/ \(M=\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)=x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}+2=\left(xy-\frac{1}{xy}\right)^2+4\ge4\)
Suy ra Min M = 4 . Dấu "=" xảy ra khi x=y=1/2
b/ Đề đúng phải là \(\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\ge\frac{3}{2}\)
Ta có \(6=\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\ge\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}\Rightarrow x+y+z\ge\frac{3}{4}\)
Lại có \(\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\ge\frac{9}{8\left(x+y+z\right)}\ge\frac{9}{8.\frac{3}{4}}=\frac{3}{2}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
20 tháng 1 2021
\(S=\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{2x}+\dfrac{y}{2}+\dfrac{2}{y}+\dfrac{1}{2}\left(x+y\right)\)
\(S\ge2\sqrt{\dfrac{x}{4x}}+2\sqrt{\dfrac{2y}{2y}}+\dfrac{1}{2}.3=\dfrac{9}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y\right)=\left(1;2\right)\)
BN
1
6 tháng 12 2015
Ta co: 1/x + x + 2/y +2y \(\ge\) 2 căn(1/x.x)+2căn(2/y.2y) ( Cauchy)
=>1/x + 2/y + x +2y \(\ge\)6
Ma: x+2y=3 (gt)
=> 1/x + 2/y \(\ge\) 3 ( dpcm)
**** nhe
TN
11 tháng 11 2016
Biến đổi tương đương, dễ dàng chứng minh Bđt:
\(\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+\frac{4}{\left(x+z\right)^2}\ge\frac{4}{x^2+yz}\)\(\Rightarrow VT\ge\frac{x^2}{yz}+\frac{4}{x^2+yz}\)
Từ \(3y^2z^2+x^2=2\left(x+yz\right)\) ta có:
\(3y^2z^2+x^2\le x^2+1+2yz\)
\(\Rightarrow3y^2z^2-2yz-1\le0\Rightarrow yz\le1\)
Khi đó:
\(VT\ge x^2+\frac{4}{x^2+1}=\left(x^2+1\right)+\frac{4}{x^2+1}-1\ge3\)
Dấu = khi x=y=z=1
Đặt \(A=\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\)
\(\Rightarrow\) \(3A=\left(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\right)\left(x+2y\right)\) (do \(x+2y=3\) )
nên \(3A=2\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+5\)
Khi đó, áp dụng bất đẳng thức \(AM-GM\) đối với bộ số không âm gồm \(\left(\frac{x}{y};\frac{y}{x}\right)\) , ta có:
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{x}}=2\)
Do đó, \(3A\ge2.2+5=9\)
Hay nói cách khác, \(A\ge3\)
Dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}x=y\\x+2y=3\end{cases}\Leftrightarrow}\) \(\hept{\begin{cases}x=1\\y=1\end{cases}}\)
Vậy, \(A_{min}=3\) \(\Leftrightarrow\) \(x=y=1\)
dùng cô si ( AM - GM ) thêm bớt nhanh hơn .
dự đoán điểm rơi x = y = 1
Gải : \(\frac{1}{x}+x\ge2\sqrt{\frac{1}{x}.x}=2\left(1\right).\)
\(\frac{2}{y}+2y\ge2\sqrt{\frac{2}{y}.2y}=4\left(2\right).\)
cống vế với vế của (1) và (2) ta được : \(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+3\ge6\) ( do x + 2y = 3 )
=> \(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\ge3\)dấu "=" xẩy ra khi x = y = 1