K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

NV
30 tháng 6 2021

\(\dfrac{1}{1+a^2}+\dfrac{1}{1+b^2}=\dfrac{a^2+b^2+2}{a^2b^2+a^2+b^2+1}=1-\dfrac{a^2b^2-1}{a^2b^2+a^2+b^2+1}\ge1-\dfrac{a^2b^2-1}{a^2b^2+2ab+1}\)

\(=1-\dfrac{\left(ab-1\right)\left(ab+1\right)}{\left(ab+1\right)^2}=1-\dfrac{ab-1}{ab+1}=\dfrac{2}{ab+1}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)

30 tháng 6 2021

\(\dfrac{1}{1+a^2}+\dfrac{1}{1+b^2}\ge\dfrac{2}{1+ab}\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{1}{1+a^2}-\dfrac{1}{1+ab}\right)+\left(\dfrac{1}{1+b^2}-\dfrac{1}{1+ab}\right)\ge0\)

\(\Rightarrow\dfrac{ab-a^2}{\left(1+a^2\right)\left(1+ab\right)}+\dfrac{ab-b^2}{\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\ge0\)

\(\Rightarrow\dfrac{a\left(b-a\right)}{\left(1+a^2\right)\left(1+ab\right)}+\dfrac{b\left(a-b\right)}{\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\ge0\)

\(\Rightarrow\dfrac{a\left(b-a\right)\left(1+b^2\right)+b\left(a-b\right)\left(1+a^2\right)}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\ge0\)

\(\Rightarrow\dfrac{\left(b-a\right)\left(a+ab^2\right)-\left(b-a\right)\left(b+a^2b\right)}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\ge0\)

\(\Rightarrow\dfrac{\left(b-a\right)\left(-\left(b-a\right)+ab\left(b-a\right)\right)}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\ge0\)

\(\Rightarrow\dfrac{\left(b-a\right)^2\left(ab-1\right)}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\ge0\) (luôn đúng vì \(ab\ge1\))

 

 

NV
2 tháng 7 2021

a.

Ta có: \(a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2=\dfrac{1}{3}.2^2=2\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=1\)

b.

\(a^4+b^4\ge\dfrac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)^2\ge\dfrac{1}{2}.2^2=2\) (sử dụng kết quả \(a^2+b^2\ge2\) của câu a)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=1\)

c.

\(a^2b^2\left(a^2+b^2\right)=\dfrac{1}{2}ab.2ab\left(a^2+b^2\right)\le\dfrac{1}{8}\left(a+b\right)^2\left(2ab+a^2+b^2\right)^2=2\)

d.

\(8\left(a^4+b^4\right)+\dfrac{1}{ab}\ge8.2+\dfrac{4}{\left(a+b\right)^2}=16+\dfrac{4}{2^2}=17\) (sử dụng kết quả câu b)

NV
30 tháng 6 2021

\(c\ge\sqrt{ab}\Leftrightarrow\dfrac{c}{a}.\dfrac{c}{b}\ge1\)

BĐT cần chứng minh tương đương:

\(\dfrac{\left(c+a\right)^2}{c^2+a^2}\ge\dfrac{\left(c+b\right)^2}{c^2+b^2}\Leftrightarrow\dfrac{\left(\dfrac{c}{a}+1\right)^2}{\left(\dfrac{c}{a}\right)^2+1}\ge\dfrac{\left(\dfrac{c}{b}+1\right)^2}{\left(\dfrac{c}{b}\right)^2+1}\)

Đặt \(\left(\dfrac{c}{a};\dfrac{c}{b}\right)=\left(x;y\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}xy\ge1\\y>x\Rightarrow y-x>0\end{matrix}\right.\) (1)

BĐT cần c/m trở thành: \(\dfrac{\left(x+1\right)^2}{x^2+1}\ge\dfrac{\left(y+1\right)^2}{y^2+1}\Leftrightarrow\dfrac{x}{x^2+1}\ge\dfrac{y}{y^2+1}\)

\(\Leftrightarrow xy^2+x\ge x^2y+y\Leftrightarrow xy\left(y-x\right)-\left(y-x\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(xy-1\right)\left(y-x\right)\ge0\)  luôn đúng theo (1)

Vậy BĐT đã cho được c/m 

Dấu "=" xảy ra khi \(xy=1\) hay \(c=\sqrt{ab}\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
27 tháng 10 2018

Bài 1:

Với $a=0$ hoặc $b=0$ thì ta luôn có \(ab=a^ab^b\)

Với $a\neq 0; b\neq 0$ , tức là \(a,b\in (0;1]\)

Ta có: \(a^a-a=a(a^{a-1}-1)=a(\frac{1}{a^{1-a}}-1)=\frac{a}{a^{1-a}}(1-a^{1-a})\)

Với \(0\leq a\leq 1; 1-a\geq 0\Rightarrow a^{1-a}\leq 1\)

\(\Rightarrow 1-a^{1-a}\geq 0\)

\(\Rightarrow a^a-a=\frac{a}{a^{1-a}}(1-a^{1-a})\geq 0\)

\(\Rightarrow a^a\geq a\)

Tương tự: \(b^b\geq b\)

\(\Rightarrow a^ab^b\geq ab\) (đpcm)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
27 tháng 10 2018

Bài 2:

Ta có :\(\frac{1}{3^a}+\frac{1}{3^b}+\frac{1}{3^c}\geq 3\left(\frac{a}{3^a}+\frac{b}{3^b}+\frac{c}{3^c}\right)\)

\(\Leftrightarrow \frac{1-3a}{3^a}+\frac{1-3b}{3^b}+\frac{1-3c}{3^c}\geq 0\)

\(\Leftrightarrow \frac{b+c-2a}{3^a}+\frac{a+c-2b}{3^b}+\frac{a+b-2c}{3^c}\geq 0\) (do $a+b+c=1$)

\(\Leftrightarrow (a-b)\left(\frac{1}{3^b}-\frac{1}{3^a}\right)+(b-c)\left(\frac{1}{3^c}-\frac{1}{3^b}\right)+(c-a)\left(\frac{1}{3^a}-\frac{1}{3^c}\right)\geq 0\)

\(\Leftrightarrow \frac{(a-b)(3^a-3^b)}{3^{a+b}}+\frac{(b-c)(3^b-3^c)}{3^{b+c}}+\frac{(c-a)(3^c-3^a)}{3^{c+a}}\geq 0(*)\)

Ta thấy, với mọi \(a\geq b\Rightarrow 3^a\geq 3^b; a\leq b\Rightarrow 3^a\leq 3^b\)

Tức là \(a-b; 3^a-3^b\) luôn cùng dấu

\(\Rightarrow (a-b)(3^a-3^b)\geq 0\). Kết hợp với \(3^{a+b}>0, \forall a,b\)

\(\Rightarrow \frac{(a-b)(3^a-3^b)}{3^{a+b}}\geq 0\)

Tương tự: \(\frac{(b-c)(3^b-3^c)}{3^{b+c}}\geq 0; \frac{(c-a)(3^c-3^a)}{3^{c+a}}\geq 0\)

Do đó $(*)$ đúng, ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

NV
21 tháng 8 2021

\(VT=3\left(\dfrac{1}{4ab}+\dfrac{1}{a^2+4b^2}\right)+\dfrac{1}{2.a.2b}\ge\dfrac{12}{a^2+4ab+4b^2}+\dfrac{2}{\left(a+2b\right)^2}=14\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b\right)=\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{4}\right)\)

21 tháng 8 2021

anh ơi sao lại là  \(\dfrac{2}{\left(a+2b\right)^2}\) ạ

 

NV
20 tháng 3 2022

\(ab+1\le b\Rightarrow a+\dfrac{1}{b}\le1\)

Đặt \(\left(a;\dfrac{1}{b}\right)=\left(x;y\right)\Rightarrow x+y\le1\)

Gọi vế trái của BĐT cần chứng minh là P:

\(P=x+\dfrac{1}{x^2}+y+\dfrac{1}{y^2}=\left(\dfrac{1}{x^2}+8x+8x\right)+\left(\dfrac{1}{y^2}+8y+8y\right)-15\left(x+y\right)\)

\(P\ge3\sqrt[3]{\dfrac{64x^2}{x^2}}+3\sqrt[3]{\dfrac{64y^2}{y^2}}-15.1=9\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right)\) hay \(\left(a;b\right)=\left(\dfrac{1}{2};2\right)\)

28 tháng 11 2023

Ta có \(a+b+c=abc\Leftrightarrow\dfrac{a+b+c}{abc}=1\) \(\Leftrightarrow\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}=1\)

Lại có \(\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+2\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\right)\)

\(\Leftrightarrow2^2=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}=2\) (đpcm)

24 tháng 2 2022

Thôi câu đó mình làm được rồi, các bạn giúp mình câu này nha

Cho \(a>b\ge0\). CMR: \(\dfrac{a^4+b^4}{a^4-b^4}-\dfrac{ab}{a^2-b^2}+\dfrac{a+b}{2\left(a-b\right)}\ge\dfrac{3}{2}\)

 
24 tháng 2 2022

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1\\ \to ab+bc+ca=abc=1\)

Ta có \(A=\left(a^2+ab+bc+ca\right)\left(b^2+ab+bc+ca\right)\left(c^2+ab+bc+ca\right)\)

\(\to A=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)\)

\(\to A=\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\right]^2\)

Vì $a,b,c\in \mathbb{Q}\to A\in \mathbb{Q}$

5 tháng 9 2021

Dấu BĐT bị ngược, sửa đề: \(\dfrac{1}{a^4+b^4+2ab^4}+\dfrac{1}{a^2+b^4+2a^2b^2}\le\dfrac{1}{2}\).

Đặt \(b^2=x\left(x>0\right)\Rightarrow a+x=2ax\).

Khi đó ta cần chứng minh:

\(\dfrac{1}{a^4+x^2+2ax^2}+\dfrac{1}{a^2+x^4+2a^2x}\le\dfrac{1}{2}\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(\dfrac{1}{a^4+x^2+2ax^2}+\dfrac{1}{a^2+x^4+2a^2x}\)

\(\le\dfrac{1}{2a^2x+2ax^2}+\dfrac{1}{2ax^2+2a^2x}\)

\(=\dfrac{2}{2ax\left(a+x\right)}\)

\(=\dfrac{1}{ax\left(a+x\right)}\)

\(=\dfrac{1}{2a^2x^2}\)

Ta thấy: \(a+x\ge2\sqrt{ax}\)

\(\Leftrightarrow2ax\ge2\sqrt{ax}\)

\(\Leftrightarrow ax-\sqrt{ax}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{ax}\left(\sqrt{ax}-1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{ax}\ge1\)

\(\Rightarrow ax\ge1\)

Khi đó: \(\dfrac{1}{2a^2x^2}\le\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{a^4+x^2+2ax^2}+\dfrac{1}{a^2+x^4+2a^2x}\le\dfrac{1}{2}\)

Hay \(\dfrac{1}{a^4+b^4+2ab^4}+\dfrac{1}{a^2+b^4+2a^2b^2}\le\dfrac{1}{2}\).