Question

[Trân Trời Mới]

Cho ΔABCΔABC cân tại A. Kẻ đường cao AH, gọi I là trung điểm của BH. Lấy M thuộc tia đối của tia IA sao cho IA = IM.

        a) Chứng minh rằng BM = AH và AB + AH > AM

        b) Chứng minh MH // AB

        c) Tia MH cắt AC tại E. Chứng minh rằng ΔEHCΔEHCcân và E là trung điểm của AC

        d) Gọi N là trung điểm của MC. Cho biết AB = 10cm, BC = 12cm. Tính độ dài AN

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

c) Ta có: MH//AB(cmt)

nên EH//AB

Suy ra: \(\widehat{CHE}=\widehat{CBA}\)(hai góc đồng vị)

mà \(\widehat{CBA}=\widehat{HCE}\)(hai góc ở đáy của ΔABC cân tại A)

nên \(\widehat{EHC}=\widehat{ECH}\)

Xét ΔEHC có \(\widehat{EHC}=\widehat{ECH}\)(cmt)

nên ΔEHC cân tại E(Định lí đảo của tam giác cân)

Ta có: \(\widehat{ECH}+\widehat{EAH}=90^0\)(ΔAHC vuông tại H)

\(\widehat{EHC}+\widehat{AHE}=90^0\)(HE là tia nằm giữa hai tia HC,HA)

mà \(\widehat{EHC}=\widehat{ECH}\)(cmt)

nên \(\widehat{EAH}=\widehat{EHA}\)

Xét ΔEHA có \(\widehat{EAH}=\widehat{EHA}\)(cmt)

nên ΔEHA cân tại E(Định lí đảo của tam giác cân)

Ta có: EH=EC(ΔEHC cân tại E)

mà EH=EA(ΔEHA cân tại E)

nên EC=EA

hay E là trung điểm của AC(Đpcm)

Answer 2

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a) Xét ΔAIH và ΔMIB có 

IA=IM(gt)

\(\widehat{AIH}=\widehat{MIB}\)(hai góc đối đỉnh)

IH=IB(I là trung điểm của BH)

Do đó: ΔAIH=ΔMIB(c-g-c)

Suy ra: AH=MB(hai cạnh tương ứng) 

Xét ΔBMA có 

AB+BM>AM(Bđt tam giác)

mà AH=MB(cmt)

nên AB+AH>AM(Đpcm)

b) Xét ΔBIA và ΔHIM có

IA=IM(gt)

\(\widehat{BIA}=\widehat{HIM}\)(hai góc đối đỉnh)

IB=IH(I là trung điểm của BH)

Do đó: ΔBIA=ΔHIM(c-g-c)

Suy ra: \(\widehat{IBA}=\widehat{IHM}\)(hai góc tương ứng)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên AB//MH(Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)