K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

Ta có : \(x+y+z=0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=-\left(y+z\right)\\y=-\left(z+x\right)\\z=-\left(x+y\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2=\left(y+z\right)^2\\y^2=\left(z+x\right)^2\\z=\left(x+y\right)^2\end{cases}}\)

\(\Rightarrow ax^2+by^2+cz^2=a\left(y+z\right)^2+b\left(z+x\right)^2+c\left(x+y\right)^2\)

                                       \(=ay^2+az^2+bz^2+bx^2+cx^2+cy^2+2\left(ayz+bzx+cxy\right)\) 

                                       \(=x^2\left(b+c\right)+y^2\left(c+a\right)+z^2\left(a+b\right)+2\left(ayz+bzx+cxy\right)\left(1\right)\)

Từ \(a+b+c=0\)                    \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}b+c=-a\\c+a=-b\\a+b=-c\end{cases}}\) 

Thay vào \(\left(1\right)\), ta được :

\(ax^2+by^2+cz^2=-ax^2-by^2-cz^2+2\left(ayz+bzx+cxy\right)\)

Ta có : \(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0\)\(\Rightarrow ayz+bzx+cxy=0\)

\(\Rightarrow ax^2+by^2+cz^2=-ax^2-by^2-cz^2\)

\(\Rightarrow2\left(ax^2+by^2+cz^2\right)=0\)

\(\Rightarrow ax^2+by^2+cz^2=0\left(đpcm\right)\)

Từ \(a+b+c=0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=-\left(b+c\right)\\b=-\left(a+c\right)\\c=-\left(a+b\right)\end{cases}}\)

Từ \(x+y+z=0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=-\left(y+z\right)\\y=-\left(x+z\right)\\z=-\left(x+y\right)\end{cases}}\)

Thay vào \(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{-\left(b+c\right)}{-\left(y+z\right)}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0\)

\(\Rightarrow2byz+2cyz+bz^2+cy^2=0\)

\(\Rightarrow-\left(b+c\right).-\left(y+z\right)^2+by^2+cz^2=0\)

\(\Rightarrow\text{ax}^2+by^2+cz^2=0\)(dpcm)

Suy ngược nha k chắc

23 tháng 5 2019

từ x + y + z = 0 suy ra x2 = ( y + z )2 , y2 = ( x + z )2 , z2 = ( x + y )2 

do đó :

ax2 + by2 + cz2 = a ( y + z )2 + b ( x + z )2 + c ( x + y )2

= a ( y2 + 2yz + z2 ) + b ( x2 + 2xz + z2 ) + c ( x2 + 2xy + y2 )

= x2 ( b + c ) + y2 ( a + c ) + z2 ( a + b ) + 2 ( ayz + bxz + cxy )                   ( 1 )

thay b + c = -a ; a + c = -b ; a + b = -c do a + b +c = 0 và thay ayz + bxz + cxy = 0 do \(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0\)vào ( 1 )

Ta được : ax2 + by2 + cz2 = -ax2 - by2 - cz2 

nên 2 ( ax2 + by2 + cz2 ) = 0 \(\Rightarrow\)ax2 + by2 + cz2 = 0

13 tháng 8 2017

Câu hỏi của Momozono Nanami - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

1 tháng 9 2017

ta có x+y+z=0 =>x^2=(y+z)^2 
y^2=(x+z)^2 
z^2=(x+y)^2 
do đó ax^2+by^2+cz^2 
=a(y+z)^2+b(x+z)^2+c(x+y)^2 
=a(y^2+2yz+z^2)+b(x^2+2xz+z^2) 
+c(x^2+2xy+y^2) 
=x^2(b+c)+y^2(a+c)+z^2(a+b) 
+2(ayz+bxz+cxy) (1) 
thay b+c=-a ,a+c=-b , a+b=-c do a+b+c=0 
và ayz+bxz+cxy=0 do a/x+b/y+c/z=0 vào (1) ta được 
ax^2+by^2+cz^2 = -(ax^2+by^2+cz^2) 
=> ax^2+by^2+cz^2=0

3 tháng 3 2020

Violympic toán 8

3 tháng 3 2020

Đề thiếu???

30 tháng 5 2015

Ta có x+y +z =0 =>x^2 =(y+z)^2 ;y^2=(x+z)^2;z^2=(y+x)^2

=>ax^2+by^2+cz^2=a(y+z)^2+b(x+z)^2+c(y+x)^2

=>(b+c)x^2+(a+c)y^2+(a+b)z^2+2(ayz+bxz+cyz)             (1)

Tu a+b+c=0=>-a=b+c;-b=a+c;-c=a+b                    (2)

Tu a/x+b/y+c/x =0=>ayz+bxz+cxy/xyz=0=>ayz+bxz+cxy = 0                   (3)

Thay (2) va (3 ) va (1) ta dc :ax^2+by^2+cz^2=-(ax^2+by^2+cz^2)=>ax^2+by^2+cz^2=0

(Hai số đối nhau mà bằng nhau chỉ có số 0)

30 tháng 5 2015

hình như bạn làm sai bạn ạ

 

11 tháng 12 2017

xin lỗi bạn 

đáp án mình là 495

1.a, cho a,b,c và x,y,z là các số khác 0, thỏa mãn đk a+b+c=0, x+y+z=0,\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=0\). chứng minh rằng: \(a^2x+b^2y+c^2z=0\) b, cho a,b,c là các hằng số và a,b,c≠-1. chứng minh rằng nếu x=by+cz, y=ax+cz, z=ax+by, x+y+z≠0 thì\(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}=2\) 2. giả sử \(a_1,b_1,c_1,a_2,b_2,c_2\) là các số khác 0 thỏa mãn các đk: \(\frac{a_1}{a_2}+\frac{b_1}{b_2}+\frac{c_1}{c_2}=0\) và...
Đọc tiếp

1.a, cho a,b,c và x,y,z là các số khác 0, thỏa mãn đk a+b+c=0, x+y+z=0,\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=0\). chứng minh rằng:

\(a^2x+b^2y+c^2z=0\)

b, cho a,b,c là các hằng số và a,b,c≠-1. chứng minh rằng nếu x=by+cz, y=ax+cz, z=ax+by, x+y+z≠0 thì\(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}=2\)

2. giả sử \(a_1,b_1,c_1,a_2,b_2,c_2\) là các số khác 0 thỏa mãn các đk: \(\frac{a_1}{a_2}+\frac{b_1}{b_2}+\frac{c_1}{c_2}=0\)\(\frac{a_2}{a_1}+\frac{b_2}{b_1}+\frac{c_2}{c_1}=1\)

cmr \(\frac{a\frac{2}{2}}{a\frac{2}{1}}+\frac{b\frac{2}{2}}{b\frac{2}{1}}+\frac{c\frac{2}{2}}{c\frac{2}{1}}=1\)

3. a, biết x,y,z khác 0 và \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\). tính gt bt

M=\(\frac{yz}{x^2}+\frac{xz}{y^2}+\frac{xy}{z^2}\)

b, biết x,y,z khác 0 và x+y+z=\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\). cmr

y(\(x^2-yz\))\(\left(1-xz\right)=x\left(1-yz\right)\left(y^2-xz\right)\)

4. cho x,y,z khác 0 và \(\frac{y^2+z^2-x^2}{2yz}+\frac{z^2+x^2-y^2}{2xz}+\frac{x^2+y^2-z^2}{2xy}=1\)

chứng minh rằng trong 3 phân thức đã cho có 1 phân thức bằng -1 và hai phân thức còn lại đều bằng 1

5
AH
Akai Haruma
Giáo viên
20 tháng 3 2020

Bài 1:

a) Từ đkđb:

$x+y+z=0\Rightarrow x+y=-z; y+z=-x; z+x=-y$

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=0\Rightarrow xbc+yac+zab=0$

$a+b+c=0\Rightarrow a=-(b+c)\Rightarrow a^2=(b+c)^2$

$\Rightarrow a^2x=(b+c)^2x$.

Tương tự: $b^2y=(a+c)^2y; c^2z=(a+b)^2z$

Do đó:

$a^2x+b^2y+c^2z=(b+c)^2x+(a+c)^2y+(a+b)^2z=a^2(y+z)+b^2(z+x)+c^2(x+y)+2(xbc+yac+zab)$

$=a^2(-x)+b^2(-y)+c^2(-z)+2.0=-(a^2x+b^2y+c^2z)$

$\Rightarrow 2(a^2x+b^2y+c^2z=0$

$\Rightarrow a^2x+b^2y+c^2z=0$ (đpcm)

b)

\(\left\{\begin{matrix} x=by+cz\\ y=ax+cz\\ z=ax+by\end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{x+y+z}{2}=ax+by+cz\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} ax=\frac{x+y+z}{2}-x=\frac{y+z-x}{2}\\ by=\frac{x+y+z}{2}-y=\frac{x+z-y}{2}\\ cz=\frac{x+y+z}{2}-z=\frac{x+y-z}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=\frac{y+z-x}{2x}\\ b=\frac{x+z-y}{2y}\\ c=\frac{x+y-z}{2z}\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+1=\frac{y+z+x}{2x}\\ b+1=\frac{x+z+y}{2y}\\ c+1=\frac{x+y+z}{2z}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=\frac{2x}{x+y+z}+\frac{2y}{x+y+z}+\frac{2z}{x+y+z}=2\) (đpcm)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
20 tháng 3 2020

Bài 2:
Đặt $\frac{a_2}{a_1}=x; \frac{b_2}{b_1}=y; \frac{c_2}{c_1}=z$

Khi đó bài toán trở thành: Cho $x,y,z\neq 0$ thỏa mãn \(\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\\ x+y+z=1\end{matrix}\right.\)

CMR: $x^2+y^2+z^2=1$

-----------------------------------

Thật vậy:

Ta có: \(\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\\ x+y+z=1\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} xy+yz+xz=0\\ x+y+z=1\end{matrix}\right.\)

Khi đó: $x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+xz)=1^2-2.0=1$ (đpcm)

Vậy........

19 tháng 5 2016

nhân lên rồi áp dụng BĐT bunhiacopxki

19 tháng 5 2016

\(\frac{\left(ax+by+cz\right)^2}{x^2+y^2+z^2}=a^2+b^2+c^2\)

\(\left(ax+by+cz\right)^2=\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(a^2+b^2\right)+c^2\)

Khai triển và rút gọn ta được: 

\(2abxy+2acxz+2bcyz=a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+b^2z^2+c^2x^2+c^2y^2\)

Gom các hạng tử lai thành hằng đẳng thức: 

\(\left(ay-bx\right)^2+\left(az-cx\right)^2+\left(cy-bz\right)^2=0\)

Mà bình phương của các số thì \(\ge\)0 nó chỉ bằng 0 khi và chỉ khi từng hạng tử =0 

nên: \(\hept{\begin{cases}ay-bx=0\\az-cx=0\\cy-bz=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}ay=bx\rightarrow\frac{a}{x}=\frac{b}{y}\\az=cx\rightarrow\frac{a}{x}=\frac{c}{z}\\cy=bz\rightarrow\frac{c}{z}=\frac{b}{y}\end{cases}}}\) 

=>Đpcm 

10 tháng 10 2017

Nâng cao và phát triển toán 8 tập 1 bài 150*