K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

9 tháng 9 2019

Áp dụng bđt svac-xơ có:

\(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a^2+2bc+b^2+2ac+c^2+2ab}=\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\)

<=> \(A\ge\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\)

Với a,b,c>0 và a+b+c \(\le1\) => 0<(a+b+c)2\(\le1\)=> \(\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\ge\frac{9}{1}=9\)

=>A\(\ge9\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

23 tháng 11 2019

Áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)

ta có A\(\ge\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}=9\)

Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 7 2019

Lời giải:

Ta thấy:

\(\text{VT}=\frac{c^2}{2ab^2c^2+c^2}+\frac{a^2}{2bc^2a^2+a^2}+\frac{b^2}{2ca^2b^2+b^2}\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\(\text{VT}(2ab^2c^2+c^2+2bc^2a^2+a^2+2ca^2b^2+b^2)\geq (c+a+b)^2\)

\(\Leftrightarrow \text{VT}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2abc(ab+bc+ac)+a^2+b^2+c^2}(*)\)

Áp dụng BĐT Am-GM:

\(3=a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow abc\leq 1\)

\(\Rightarrow 2abc(ab+bc+ac)\leq 2(ab+bc+ac)\)

\(\Rightarrow \frac{(a+b+c)^2}{2abc(ab+bc+ac)+a^2+b^2+c^2}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ac)+a^2+b^2+c^2}=1(**)\)

Từ \((*); (**)\Rightarrow \text{VT}\geq 1\)

Ta có đpcm. Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 7 2019

Cách khác bằng AM-GM:

\(\text{VT}=3-\left(\frac{2ab^2}{2ab^2+1}+\frac{2bc^2}{2bc^2+1}+\frac{2ca^2}{2ca^2+1}\right)(1)\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(\frac{2ab^2}{2ab^2+1}+\frac{2bc^2}{2bc^2+1}+\frac{2ca^2}{2ca^2+1}=\frac{2ab^2}{ab^2+ab^2+1}+\frac{2bc^2}{bc^2+bc^2+1}+\frac{2ca^2}{ca^2+ca^2+1}\)

\(\leq \frac{2ab^2}{3\sqrt[3]{a^2b^4}}+\frac{2bc^2}{3\sqrt[3]{b^2c^4}}+\frac{2ca^2}{3\sqrt[3]{c^2a^4}}=\frac{2}{3}(\sqrt[3]{ab^2}+\sqrt[3]{bc^2}+\sqrt[3]{ca^2})\)

\(\leq \frac{2}{3}\left(\frac{a+b+b}{3}+\frac{b+c+c}{3}+\frac{c+a+a}{3}\right)=\frac{2}{3}(a+b+c)=2(2)\)

Từ \((1);(2)\Rightarrow \text{VT}\geq 3-2=1\) (đpcm)

27 tháng 11 2019

Cách : AM - GM :

\(VT=3-\left(\frac{2ab^2}{2ab^2+1}+\frac{2bc^2}{2bc^2+1}+\frac{2ca^2}{2ca^2+1}\right)\left(1\right)\)

Áp dụng BĐT AM - GM :

\(\frac{2ab^2}{2ab^2+1}+\frac{2bc^2}{2bc^2+1}+\frac{2ca^2}{2ca^2+1}=\frac{2ab^2}{ab^2+ab^2+1}+\frac{2bc^2}{bc^2+bc^2+1}+\frac{2ca^2}{ca^2+ca^2+1}\)

\(\le\frac{2ab^2}{3\sqrt[3]{a^2b^4}}+\frac{2bc^2}{3\sqrt[3]{b^2c^4}}+\frac{2ca^2}{3\sqrt[3]{c^aa^4}}=\frac{2}{3}\left(\sqrt[3]{ab^2}+\sqrt[3]{bc^2}+\sqrt[3]{ca^2}\right)\)

\(\le\frac{2}{3}\left(\frac{a+b+b}{3}+\frac{b+c+c}{3}+\frac{c+a+a}{3}\right)=\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)=2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow VT\ge3-2=1\left(đpcm\right)\)

31 tháng 7 2019

1. BĐT ban đầu

<=> \(\left(\frac{1}{3}-\frac{b}{a+3b}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{c}{b+3c}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{a}{c+3a}\right)\ge\frac{1}{4}\)

<=>\(\frac{a}{a+3b}+\frac{b}{b+3c}+\frac{c}{c+3a}\ge\frac{3}{4}\)

<=> \(\frac{a^2}{a^2+3ab}+\frac{b^2}{b^2+3bc}+\frac{c^2}{c^2+3ac}\ge\frac{3}{4}\)

Áp dụng BĐT buniacoxki dang phân thức 

=> BĐT cần CM

<=> \(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+3\left(ab+bc+ac\right)}\ge\frac{3}{4}\)

<=> \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)luôn đúng 

=> BĐT được CM

31 tháng 7 2019

2) \(a+b+c\le ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)\(\Leftrightarrow\)\(\left(a+b+c\right)^2-3\left(a+b+c\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(a+b+c\right)\left(a+b+c-3\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow\)\(a+b+c\ge3\)

ko mất tính tổng quát giả sử \(a\ge b\ge c\)

Có: \(3\le a+b+c\le ab+bc+ca\le3a^2\)\(\Leftrightarrow\)\(3a^2\ge3\)\(\Leftrightarrow\)\(a\ge1\)

=> \(\frac{1}{1+a+b}+\frac{1}{1+b+c}+\frac{1}{1+c+a}\le\frac{3}{1+2a}\le1\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c=1\)

30 tháng 9 2017

Ta có:

\(3=a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)

\(\Leftrightarrow abc\le1\)

Từ đó ta có:

\(\frac{1}{1+2ab^2}+\frac{1}{1+2bc^2}+\frac{1}{1+2ca^2}\)

\(\ge\frac{1}{1+\frac{2b}{c}}+\frac{1}{1+\frac{2c}{a}}+\frac{1}{1+\frac{2a}{b}}\)

\(=\frac{c}{c+2b}+\frac{a}{a+2c}+\frac{b}{b+2a}\)

\(=\frac{c^2}{c^2+2bc}+\frac{a^2}{a^2+2ca}+\frac{b^2}{b^2+2ab}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}=1\)

12 tháng 4 2020

với mọi x,y,z >0 ta có: \(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz};\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}\)

\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{z}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge9\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x+y+z}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

đẳng thức xảy ra khi x=y=z

ta có: \(5a^2+2ab+2b^2=\left(2a+b\right)^2+\left(a-b\right)^2\ge\left(2a+b\right)^2\)

\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}}\le\frac{1}{2a+b}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)

đẳng thức xảy ra khi a=b

tương tự: \(\frac{1}{\sqrt{5b^2+2ab+2b^2}}\le\frac{1}{2b+c}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

đẳng thức xảy ra khi b=c

\(\frac{1}{\sqrt{5c^2+2bc+2c^2}}\le\frac{1}{2c+a}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\)

đẳng thức xảy ra khi c=a

Vậy \(\frac{1}{\sqrt{5a^2+2ca+2a^2}}+\frac{1}{\sqrt{5b^2+2bc+2c^2}}+\frac{1}{\sqrt{5c^2+2ac+2a^2}}\le\frac{1}{9}\left(\frac{3}{a}+\frac{3}{b}+\frac{3}{c}\right)\)

\(\le\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\le\frac{2}{3}\)

đẳng thức xảy ra khi a=b=c=\(\frac{3}{2}\)

29 tháng 1 2020

Tham khảo bài của mình

6 tháng 12 2019

Đặt \(m=a^2+bc\);\(n=b^2+2ca\);\(p=c^2+2ab\)

Lúc đó: \(m+n+p=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)^2< 1\)(vì a + b + c < 1 )

\(BĐT\Leftrightarrow\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{p}\ge9\)và m + n + p < 1 ; m,n,p > 0 

Áp dụng BĐT Cô -si cho 3 số không âm:

\(m+n+p\ge3\sqrt[3]{mnp}\)

và \(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{p}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{mnp}}\)

\(\Rightarrow\left(m+n+p\right)\left(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{p}\right)\ge9\)

Mà m + n + p < 1 nên \(\left(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{p}\right)\ge9\)

hay \(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ca}+\frac{1}{c^2+2ab}\ge9\)